Mathematisches Institut WS 2000/2001 der Universität München Blatt 4 Prof. Dr. B. Pareigis

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

13. (a) Zeigen Sie, daß die Menge Bij(M, M) der bijektiven Abbildungen einer Menge M in sich mit der Komposition als Verknüpfung eine Gruppe bildet.

(b) Geben Sie im Fall der Menge M = {1, 2, 3} die Gruppentafel von Bij(M, M) an. (4)

14. Sei M die Menge {1, 2, 3}. Bestimmen Sie alle Untergruppen der Gruppe Bij(M, M). Bestimmen Sie weiter, welche dieser Untergruppen normal sind. (Hinweis: Bestimmen Sie zunächst alle zweielementigen Untergruppen.) (6)

15. Betrachten Sie die Menge ℂ := ℝ × ℝ. Wir definieren auf ℂ eine Ad-

dition

+ : ℂ × ℂ → ℂ, ((a, b), (a′, b′)) ↦ (a + a′, b + b′)

und eine Multiplikation

· : ℂ × ℂ → ℂ, ((a, b), (a′, b′)) ↦ (aa′ − bb′, ab′ + a′b)

(a) Zeigen Sie, daß ℂ mit diesen Strukturen ein Körper ist.

(b) Zeigen Sie, daß ℂ ein ℝ-Vektorraum ist, wenn man die Multiplikation mit Skalaren durch

· : ℝ × ℂ → ℂ, (r, (a, b)) ↦ (ra, rb)

definiert.

(c) Setze i := (0, 1). Zeigen Sie, daß jedes Element z ∈ ℂ eine eindeutige Darstellung z = x1 + yi mit x, y ∈ ℝ hat.

(d) Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung z^{2} = −1 und alle Lösungen der Gleichung z^{2} = i mit z ∈ ℂ.

(Hinweis: Geben Sie alle Daten, wie etwa das Einselement, explizit an. Für die Inversenbildung ist es nützlich, das Produkt von (a, b) mit (a, −b) zu berechnen. Der Körper ℂ heißt der Körper der komplexen Zahlen.) (6)

16. Sei V ein ℝ-Vektorraum. Auf der Menge V_{ℂ} := V × V führen wir eine Addition

+ : V_{ℂ} × V_{ℂ} → V_{ℂ}, ((v, w), (v′, w′)) ↦ (v + v′, w + w′)

und eine Multiplikation mit Skalaren

· : ℂ × V_{ℂ} → V_{ℂ}, ((a, b), (v, w)) ↦ (av − bw, bv + aw)

ein. Zeigen Sie, daß V_{ℂ} mit diesen Strukturen ein ℂ-Vektorraum ist.(4)

Abgabe: Freitag, 17.11.2000, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.

Sprechstunden der Übungsgruppenleiter und Korrektoren: Aron Gohr: Nach der Übungsgruppe Daniela Hobst: Nach der Übungsgruppe Tanja Hogger: Mi 13.00, Computerraum 121 Alois Rieger: Nach der Übungsgruppe Yorck Sommerhäuser: Di 13.15, Raum 426 Astrid Tischer: Mi 13.00, Computerraum 121