Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 9 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

33. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 1 und f ∈ End(V). Zeigen Sie:

(a) Ist f trigonalisierbar und bijektiv, so ist auch die Umkehrabbildung g trigonalisierbar.

(b) Ist jeder Unterraum von V f-invariant, so folgt f = λ id_{V} für ein λ ∈ K.

34. (a) Für welche α, β, γ ∈ ℝ ist die Matrix

A = (\begin{matrix}2 & α & β \\ 0 & 2 & γ \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3}

diagonalisierbar? Geben Sie in diesen Fällen eine invertierbare Matrix P ∈ ℝ^{3×3} an, welche A diagonalisiert.

(b) Geben Sie für die Matrix

B = (\begin{matrix}2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & −2 & −4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix}) ∈ ℂ^{4×4}

eine invertierbare Matrix Q ∈ ℂ^{4×4} an, welche B diagonalisiert.

35. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 1 und g ∈ End(V). Für jeden g-invarianten Unterraum U von V bezeichne g_{U} den induzierten Endomorphismus U → U, x ↦ g(x). Zeigen Sie:

(a) Kern(g^{n}) ist der größte g-invariante Unterraum U von V, so daß g_{U} nilpotent ist.

(b) Bild(g^{n}) ist der größte g-invariante Unterraum U von V, so daß g_{U} ein Isomorphismus ist.

36. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 1. Zeigen Sie, daß für f ∈ End(V) äquivalent sind:

(a) f ist idempotent, d. h. es ist f^{2} = f.

(b) Es gibt eine Basis v_{1}, …, v_{n} von V und ε_{1}, …, ε_{n} ∈ {0, 1} mit

M_{(v_{j})}(f) = (\begin{matrix}ε_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & ε_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & ε_{n} \end{matrix}) ∈ K^{n×n}

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