Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 8 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

29. (a) Sei t ∈ ℝ und

A = (\begin{matrix}cos t & − sin t \\ sin t & cos t \end{matrix}) ∈ ℝ^{2×2}

Zeigen Sie, daß A nur dann einen reellen Eigenwert besitzt, wenn t ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. Bestimmen Sie in diesem Fall alle Eigenwerte von A sowie Basen der zugehörigen Eigenräume.

(b) Sei V = C^{∞}(ℝ) der Vektorraum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von ℝ nach ℝ und sei f : V → V der Endomorphismus, der jeder Funktion v ihre Ableitung v′ zuordnet. Zeigen Sie, daß jedes λ ∈ ℝ ein Eigenwert von f ist.

30. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 1 und seien p, q natürliche Zahlen mit 1 ≤ p ≤ q ≤ n. Geben Sie einen Endomorphismus f von V und einen Eigenwert λ von f an, dessen geometrische Vielfachheit p und dessen algebraische Vielfachheit q ist.

31. Sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n}. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) A und die Transponierte A^{t} haben dieselben Eigenwerte.

(b) A und die Transponierte A^{t} haben dieselben Eigenvektoren.

(c) Ist A diagonalisierbar und hat A nur einen Eigenwert λ ∈ K, so folgt A = λE_{n}.

32. Bestimmen Sie für den Vektorraum V = ℝ^{3} jeweils eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix

A = (\begin{matrix}0 & 2 & 2 \\ −2 & 3 & 0 \\ −2 & 0 & −3 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3} bzw. B = (\begin{matrix}6 & −2 & −2 \\ 8 & −2 & −4 \\ 2 & −1 & −1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3}

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 22.6.2004, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Auf jeder Lösung müssen sich zwei Namen und die Angabe der Übungsgruppe befinden, in der das Blatt zurückgegeben werden soll.