Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 7 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

25. Sei K ein Körper und I eine nichtleere Menge. Zeigen Sie:

(a) Der K-Vektorraum R = Abb(I, K) aller Abbildungen von I nach K

wird durch

(α_{i}) · (β_{i}) = (α_{i}β_{i})

zu einem kommutativen Ring. (Hinweis: Vgl. Aufgabe 24 von Blatt 6 im Wintersemester 2003/2004.)

(b) Ist die Menge I unendlich, so hat das Polynom f = X^{2}−X ∈ R[X] unendlich viele Nullstellen in R.

26. Sei K ein Körper und n ≥ 2. Zeigen Sie:

(a) Ist A = (α_{ij}) ∈ K^{n×n} und χ_{A} = ∑_{i=0}^{n} γ_{i}X^{i} ∈ K[X] das charakteristische Polynom von A, so gilt

γ_{n−2} = ∑_{1≤i<j≤n}(α_{ii}α_{jj} − α_{ij}α_{ji})

(b) Ist f = ∑_{i=0}^{n} γ_{i}X^{i} ∈ K[X] ein Polynom mit γ_{n} = 1 und definiert man

B = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & … & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & … & 1 \\ −γ_{0} & −γ_{1} & −γ_{2} & −γ_{3} & … & −γ_{n−1} \end{matrix}) ∈ K^{n×n}

so folgt χ_{B} = f.

27. Zeigen Sie für beliebige Matrizen A, B ∈ K^{n×n}, daß AB und BA dasselbe charakteristische Polynom haben. (Hinweis: Man betrachte zuerst

den Spezialfall A = (\begin{matrix}E_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) mit 1 ≤ r ≤ n.)

28. Bestimmen Sie für die folgenden Matrizen alle Eigenwerte sowie Basen der dazugehörigen Eigenräume:

A = (\begin{matrix}2 & 3 \\ −1 & 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{2×2}, B = (\begin{matrix}2 & 3 \\ −1 & 1 \end{matrix}) ∈ ℂ^{2×2},

C = (\begin{matrix}5 & −6 & −6 \\ −1 & 4 & 2 \\ 3 & −6 & −4 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3}

Aufgrund von Sparmaßnahmen kann die Korrektur dieses Blattes vom Mathematischen Institut nicht finanziert werden. Es kann daher auch nicht abgegeben werden.