Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 6 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

21. Sei n ≥ 2 und A = (α_{ij}) ∈ ℤ^{n×n} gegeben durch α_{ij} = 1 falls i = j + 1 oder i = j − 1, α_{ij} = 0 sonst. Zeigen Sie:

det(A) = \begin{cases}0 & falls n ungerade \\ (−1)^{n/2} & falls n gerade \end{cases}

22. (a) Sei R ein kommutativer Ring. Zeigen Sie durch Induktion über n ≥ 2: Sind α_{1}, …, α_{n} ∈ R, so gilt:

|\begin{matrix}1 & α_{1} & α_{1}^{2} & … & α_{1}^{n−1} \\ 1 & α_{2} & α_{2}^{2} & … & α_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & … & ⋮ \\ 1 & α_{n} & α_{n}^{2} & … & α_{n}^{n−1} \end{matrix}| = ∏_{1≤i<j≤n}(α_{j} − α_{i})

(b) Seien paarweise verschiedene reelle Zahlen x_{0}, x_{1}, …, x_{n} gegeben (n ≥ 1) und zu jedem x_{i} ein y_{i} ∈ ℝ (0 ≤ i ≤ n). Zeigen Sie, daß es genau ein Polynom der Form

f = ∑_{i=0}^{n} α_{i}X^{i} ∈ ℝ[X]

gibt mit f(x_{i}) = y_{i} für alle i.

23. (a) Berechnen Sie in ℝ^{4} das Vektorprodukt

(\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) × (\begin{matrix}0 \\ 3 \\ −1 \\ 0 \end{matrix}) × (\begin{matrix}3 \\ 6 \\ 8 \\ 9 \end{matrix})

(b) Sei K ein Körper, n ≥ 2 und v ∈ K^{n} das Vektorprodukt von a_{1}, …, a_{n−1} ∈ K^{n}. Zeigen Sie:

v ∈ ⟨a_{1}, …, a_{n−1}⟩ ⇔ v^{t}v = 0

24. (a) Sei K ein Körper und f, g ∈ K[X] mit f(λ) = g(λ) für alle λ ∈ K. Zeigen Sie: Ist K unendlich, so folgt f = g.

(b) Sei K ein endlicher Körper mit n Elementen und

f = X^{n} − X ∈ K[X]

Geben Sie alle Nullstellen von f in K an sowie ihre algebraischen Vielfachheiten. (Hinweis: Übung 11 in MIB)

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 8.6.2004, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Auf jeder Lösung müssen sich zwei Namen und die Angabe der Übungsgruppe befinden, in der das Blatt zurückgegeben werden soll.