Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 5 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

17. Sei R ein kommutativer Ring, A ∈ R^{n×n}, x ∈ R^{1×n}, y ∈ R^{n} und β ∈ R. Zeigen Sie:

det (\begin{matrix}A & y \\ x & β \end{matrix}) = det(A)β − xÃy

18. Sei K ein Körper, V = K^{n×n} der K-Vektorraum der n × n-Matrizen über K und B ∈ V. Berechnen Sie die Determinante für die folgenden drei Endomorphismen:

f : V → V, X ↦ BX
g : V → V, X ↦ XB
h : V → V, X ↦ BX − XB

19. Gegeben seien

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & \frac{2}{7} \\ 1 & −1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ −2 & 1 & −1 & 1 \end{matrix}) ∈ ℚ^{4×4} und b = (\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) ∈ ℚ^{4}

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b

(a) mittels der zu A inversen Matrix A^{−1},

(b) mit Hilfe der Cramerschen Regel.

20. Sei K ein Körper und a, b, c ∈ K^{3}. Zeigen Sie:

(a) a × (b × c) = (a^{t}c)b − (a^{t}b)c

(b) a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

(c) a^{t}(b × c) = b^{t}(c × a) = c^{t}(a × b)

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