Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 3 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

9. (a) Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V. Geben Sie einen Isomorphismus von (V/U)^{∗} nach U^{∘} an.

(b) Seien V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume. Geben Sie einen Isomorphismus von Hom(V, W) nach Hom(W^{∗}, V^{∗}) an.

10. Sei G eine endliche Gruppe und seien x, y ∈ G. Zeigen Sie:

(a) ord(y^{−1}xy) = ord(x), ord(xy) = ord(yx).

(b) Gilt x^{m} = e für ein m ≥ 1, so ist ord(x) ein Teiler von m.

11. Sei G die additive Gruppe (ℚ, +) und H die multiplikative Gruppe (ℚ \ {0}, ·).

(a) Zeigen Sie, daß es keinen Gruppenepimorphismus f : G → H gibt.

(b) Bestimmen Sie alle Gruppenhomomorphismen von G nach H.

12. (a) Berechnen Sie det(A) und det(B) für

A = (\begin{matrix}5 & −2 & 8 \\ −7 & 11 & 3 \\ 2 & 9 & −11 \end{matrix}) ∈ ℤ^{3×3} B = (\begin{matrix}2 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{matrix}) ∈ ℤ^{4×4}

(b) Sei n ≥ 2 und t ∈ ℝ. Zeigen Sie:

|\begin{matrix}t & 1 & 1 & … & 1 \\ 1 & t & 1 & … & 1 \\ 1 & 1 & t & … & 1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & … & ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & … & t \end{matrix}| = (t − 1)^{n−1}(t + n − 1)

Aufgrund von Sparmaßnahmen kann die Korrektur dieses Blattes vom Mathematischen Institut nicht finanziert werden. Es kann daher auch nicht abgegeben werden. Sprechstunden:

1. Andreas Gerstenberger: Nach der Übungsgruppe

2. Julien de Graat: Do 13.00, Café Gumbel

3. Andreas Hoffmann: Nach der Übungsgruppe

4. Michaela Püls: Do 13.00, Café Gumbel

5. Dominik Schlenker: Nach der Übungsgruppe

6. Yorck Sommerhäuser: Di 11.45, Raum 426

7. Alexander Stadelmaier: Nach der Übungsgruppe

8. Cornelia Stamm: Do 13.00, Café Gumbel

9. Helmut Zöschinger: Fr 11.30, Raum 428