Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 2 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

5. Gegeben seien auf dem Vektorraum V = ℝ^{3} die Linearformen

φ_{1} : V → ℝ, (\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) ↦ λ_{1} + 2λ_{2} + λ_{3}

φ_{2} : V → ℝ, (\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) ↦ 2λ_{1} + 2λ_{2} + 3λ_{3}

φ_{3} : V → ℝ, (\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) ↦ 3λ_{1} + 7λ_{2} + λ_{3}

Bestimmen Sie eine Basis v_{1}, v_{2}, v_{3} von V derart, daß φ_{1}, φ_{2}, φ_{3} die zugehörige duale Basis von V^{∗} ist.

6. Sei K ein Körper, e_{i} = (0, …, 0, 1, 0, …) ∈ Abb(ℕ, K) die Folge mit 1 an der i-ten Stelle und V = ⟨e_{1}, e_{2}, e_{3}, …⟩. Zeigen Sie:

X = {φ ∈ V^{∗} | φ(e_{i}) = 0 für fast alle i}

ist ein Unterraum von V^{∗} mit X^{∘} = {0} und X ⫋ X^{∘∘}.

7. Eine Folge V →^{f} W →^{g} Z von linearen Abbildungen heißt exakt, wenn Bild(f) = Kern(g) ist.

(a) Zeigen Sie: Genau dann ist V →^{f} W →^{g} Z exakt, wenn die Folge

Z^{∗} →^{g^{∗}} W^{∗} →^{f^{∗}} V^{∗} exakt ist.

(b) Was bedeutet (a) in den Spezialfällen V = {0} bzw. W = {0}?

8. Gegeben seien die Permutationen σ, π ∈ S_{6} durch

σ = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 1 & 3 & 6 & 5 \end{matrix}) π = (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 1 \end{matrix})

(a) Berechnen sie ord(σ) und ord(π) sowie die Permutationen σ^{2}π^{2}, πσπ^{−1}σ^{−1}, σ^{37} und π^{73}.

(b) Stellen Sie σ und π als Produkt von Transpositionen dar.

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 11.5.2004, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.