Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 12 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

45. (a) Bestimmen Sie in V = ℝ^{4} mit dem kanonischen Skalarprodukt das orthogonale Komplement des Unterraumes

U = ⟨(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix})⟩

sowie die senkrechte Projektion von x = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) auf U.

(b) Sei (V, σ) ein euklidischer Vektorraum der Dimension n ≥ 1, U ⊂ V ein Unterraum der Dimension m ≥ 0 und f : V → V die Spiegelung an U. Zeigen Sie:

χ_{f} = (X − 1)^{m}(X + 1)^{n−m} det(f) = (−1)^{n−m}

46. Seien (V, σ) und (W, τ) euklidische Vektorräume. Zeigen Sie, daß für eine orthogonale Abbildung f : V → W äquivalent sind:

(i) Es gibt eine lineare Abbildung g : W → V mit

τ(f(v), w) = σ(v, g(w))

für alle v ∈ V, w ∈ W.

(ii) W = Bild(f) ⊕ Bild(f)^{⊥}

Geben Sie ein Beispiel, in dem die Bedingung (i) nicht erfüllt ist.

47. Sei (V, σ) ein euklidischer Vektorraum der Dimension n ≥ 1, V = U⊕W eine direkte Zerlegung in Unterräume und f ∈ End(V) definiert durch f(u+w) = u für u ∈ U, w ∈ W. Zeigen Sie, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(i) f ist selbstadjungiert.

(ii) W = U^{⊥}.

(iii) Für alle v ∈ V ist ||f(v)|| ≤ ||v||.

48. (a) Ersetzen Sie auf alle möglichen Weisen in der Matrix

(\begin{matrix}1/3 & 2/3 & ∗ \\ ∗ & 1/3 & ∗ \\ ∗ & ∗ & 1/3 \end{matrix})

die Sterne so durch reelle Zahlen, daß dabei eine orthogonale Matrix entsteht.

(b) Eine reelle n × n-Matrix heißt normal, wenn AA^{t} = A^{t}A ist. Bestimmen Sie alle normalen 2 × 2-Matrizen. Welche unter ihnen sind orthogonal?

49. Gegeben sei die symmetrische, reelle 5 × 5-Matrix

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 1 & −\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 1 & 1 & \sqrt{2} \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ −\sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

(a) Zeigen Sie, daß χ_{A} = (x − 3)^{2}(x + 1)^{3} ist.

(b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix P ∈ ℝ^{5×5}, so daß P^{−1}AP eine Diagonalmatrix wird.

50. Sei (V, σ) ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum mit der

zugehörigen Metrik

d(x, y) = ||x − y||

Zeigen Sie, daß für eine Abbildung f : V → V äquivalent sind:

(i) Für alle x, y ∈ V ist d(f(x), f(y)) = d(x, y).

(ii) Es gibt einen Punkt p ∈ V und einen orthogonalen Endomorphismus φ : V → V mit f(x) = p + φ(x) für alle x ∈ V.

Schöne Semesterferien und viel Erfolg im weiteren Studium!