Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 11 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

41. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n ≥ 1 und f ∈ End(V), so daß χ_{f} ∈ K[X] in Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie, daß es einen diagonalisierbaren Endomorphismus g und einen nilpotenten Endomorphismus h von V gibt, so daß f = g + h und gh = hg ist.

42. Sei (V, σ) ein euklidischer Vektorraum der Dimension n ≥ 1. Zeigen Sie:

(a) Für jedes x ∈ V ist die Abbildung σ_{x} : V → ℝ, v ↦ σ(x, v) linear.

(b) Die Abbildung w : V → V^{∗}, x ↦ σ_{x} ist ein Isomorphismus.

(c) Für jeden Unterraum U von V ist U^{⊥} ≅ U^{∘}.

43. Sei V = ℝ^{n×n} der Vektorraum aller n × n-Matrizen über ℝ.

(a) Zeigen Sie, daß die Abbildung σ : V ×V → ℝ, (A, B) ↦ Spur(AB^{t}) ein Skalarprodukt auf V ist.

(b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von (V, σ).

(c) Sei U der Unterraum aller oberen Dreiecksmatrizen. Beschreiben Sie das orthogonale Komplement U^{⊥}.

44. Sei V = C([−1, 1], ℝ) der Vektorraum aller stetigen Abbildungen von [−1, 1] nach ℝ mit dem Skalarprodukt

σ(f, g) = ∫_{−1}^{1} f(t)g(t)dt

Sei U der von den Abbildungen f_{i} : [−1, 1] → ℝ, t ↦ t^{i} erzeugte Unterraum (0 ≤ i ≤ 3) und g die Abbildung [−1, 1] → ℝ, t ↦ |t|. Berechnen Sie die senkrechte Projektion von g auf U.

Aufgrund von Sparmaßnahmen kann die Korrektur dieses Blattes vom Mathematischen Institut nicht finanziert werden. Es kann daher auch nicht abgegeben werden.

Die Klausur findet am Samstag, den 10.7.2004 um 11.30 Uhr statt.