Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 10 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

37. (a) Bestimmen Sie für die Matrix

A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{2×2}

eine invertierbare Matrix P ∈ ℝ^{2×2}, welche A diagonalisiert. Geben Sie damit eine Formel für A^{n} (n = 1, 2, 3, …) an.

(b) Die Fibonacci-Zahlen 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … werden definiert durch x_{0} = 0, x_{1} = 1 und x_{n} = x_{n−1} + x_{n−2} für alle n ≥ 2. Zeigen Sie mit Hilfe von Teil (a):

x_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 − \sqrt{5}}{2})^{n})

38. Sei V ein K-Vektorraum und U_{1}, …, U_{m} (m ≥ 2) Unterräume von V mit V = ∑_{i=1}^{m} U_{i}. Beweisen oder widerlegen Sie:

(a) Ist U_{i} ∩ U_{j} = {0} für alle i ≠ j, so folgt V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{m}.

(b) Ist V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{m} und X ein Unterraum von V, so folgt

X = (X ∩ U_{1}) ⊕ … ⊕ (X ∩ U_{m})

39. (a) Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton die Potenzen A^{15}, A^{19} und A^{39} der Matrix

A = (\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & −2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3}

(b) Sei K ein Körper und A ∈ K^{n×n} eine diagonalisierbare Matrix. Zeigen Sie, daß der kommutative Ring

R_{A} = {p(A) | p ∈ K[X]}

außer der Null keine nilpotenten Elemente besitzt.

40. (a) Sei

A = (\begin{matrix}r & t \\ t & s \end{matrix}) ∈ ℝ^{2×2}

eine symmetrische 2 × 2-Matrix über ℝ. Zeigen Sie, daß die zugehörige Bilinearform σ(x, y) = x^{t}Ay genau dann positiv definit ist, wenn r > 0 und rs − t^{2} > 0 ist.

(b) Sei V = ℝ^{3}. Für welche λ ∈ ℝ ist die Abbildung

σ : V × V → ℝ
((\begin{matrix}α_{1} \\ α_{2} \\ α_{3} \end{matrix}) , (\begin{matrix}β_{1} \\ β_{2} \\ β_{3} \end{matrix})) ↦ α_{1}β_{1}+α_{1}β_{3} + 2α_{2}β_{2} + α_{3}β_{1} + λα_{3}β_{3}

ein Skalarprodukt auf V?

Jede Aufgabe wird mit fünf Punkten bewertet. Abgabe: Dienstag, 6.7.2004, 9.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Auf jeder Lösung müssen sich zwei Namen und die Angabe der Übungsgruppe befinden, in der das Blatt zurückgegeben werden soll.

Die Klausur findet am Samstag, den 10.7.2004 um 11.30 Uhr statt, und zwar in den folgenden Räumen:

1. Gruppe A: 138

2. Gruppe B: E 51

3. Gruppe C: 122

4. Gruppe D: E 52