Mathematisches Institut SS 2004 der Universität München Blatt 1 H. Zöschinger

Übungen zu MIIB: Lineare Algebra

1. Sei f : V → W eine lineare Abbildung und X ein Unterraum von V, Y ein Unterraum von W. Zeigen Sie:

(a) f(X) ist ein Unterraum von W, f^{−1}(Y) ist ein Unterraum von V und es ist:

f^{−1}(f(X)) = X + Kern(f) f(f^{−1}(Y)) = Y ∩ Bild(f)

(b) Sind V und W endlich-dimensional, so gilt:

dim(X) = dim(X ∩ Kern(f)) + dim(f(X))
dim(f^{−1}(Y)) = dim(Kern(f)) + dim(Y ∩ Bild(f))

2. Seien α, β, γ ∈ ℝ und

A = (\begin{matrix}α & α − β & α − 2β + γ \\ 0 & β & 2β − 2γ \\ 0 & 0 & γ \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3}

Zeigen Sie, daß die Matrix

P = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) ∈ ℝ^{3×3}

invertierbar ist und berechnen Sie P^{−1}AP sowie alle Potenzen A^{k} für k ≥ 1.

3. (a) Gegeben sei die lineare Abbildung

f : ℝ^{3} → ℝ^{3}, (\begin{matrix}λ_{1} \\ λ_{2} \\ λ_{3} \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}2λ_{1} \\ 4λ_{1} − λ_{2} \\ 2λ_{1} + 3λ_{2} − λ_{3} \end{matrix})

Zeigen Sie, daß f bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrabbildung g.

(b) Gegeben sei die lineare Abbildung f = l_{A} : ℝ^{3} → ℝ^{2} mit

A = (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ −1 & 0 & 2 \end{matrix})

Bestimmen Sie die darstellende Matrix A′ von f bezüglich der Basen

(\begin{matrix}−1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}2 \\ 3 \\ 2 \end{matrix})

und

(\begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 3 \end{matrix})

4. Für jede Matrix A = (α_{ij}) ∈ K^{n×n} heißt ∑_{i=1}^{n} α_{ii} die Spur von A. Zeigen Sie für den K-Vektorraum V = K^{n×n} aller n × n-Matrizen:

(a) Die Abbildung Spur : V → K ist linear.

(b) Für alle A, B ∈ V gilt Spur(AB) = Spur(BA).

(c) Ist f : V → K eine lineare Abbildung mit f(AB) = f(BA) für alle A, B ∈ V, so gibt es genau ein λ ∈ K mit f(A) = λ Spur(A) für alle A ∈ V.

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