Mathematisches Institut WS 2004/2005 der Universität München Blatt 9 W. Zimmermann

Übungen zur Algebra I

1. Sei G eine Gruppe. Die aufsteigende Zentralreihe

Z_{0}(G) ⊂ Z_{1}(G) ⊂ Z_{2}(G) ⊂ …

ist folgendermaßen rekursiv definiert: Für i = 0 ist Z_{0}(G) = {e}, und für i ≥ 1 ist Z_{i}(G) der eindeutig bestimmte Normalteiler von G mit

Z_{i}(G)/Z_{i−1}(G) = Z(G/Z_{i−1}(G))

Beweise, daß für ein n ∈ ℕ_{0} genau dann C^{n+1}(G) = {e} gilt, wenn Z_{n}(G) = G ist. (6 Punkte)

2. Sei D_{n} die Diedergruppe der Ordnung 2n, mit n ≥ 3.

(a) Bestimme die Sylowuntergruppen von D_{n} und deren Anzahl. (3 Punkte)

(b) Zeige, daß D_{n} genau dann nilpotent ist, wenn n eine Potenz von 2 ist. (2 Punkte)

3. Sei K ein Körper und R der Ring der oberen 2 × 2-Dreiecksmatrizen mit Koeffizienten in K. Bestimme alle Linksideale, Rechtsideale und zweiseitigen Ideale von R. (4 Punkte)

4. Sei R ein Ring und S = R^{n,n} für ein n ∈ ℕ.

(a) Zeige: Ist A ein zweiseitiges Ideal von R, so ist

A^{n,n} = {(r_{ij}) ∈ S | ∀i, j ≤ n : r_{ij} ∈ A}

ein zweiseitiges Ideal von S. (1 Punkt)

(b) Ist B ein zweiseitiges Ideal von S, so gibt es ein zweiseitiges Ideal A von R mit B = A^{n,n}. (Hinweis: Rechne mit den Matrizen E_{ij}.) (4 Punkte)

Abgabe: Mittwoch, 12.1.2005, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.

Schöne Weihnachten und ein frohes neues Jahr!