Mathematisches Institut WS 2004/2005 der Universität München Blatt 6 W. Zimmermann

Übungen zur Algebra I

1. Sei A ≠ 0 eine endliche abelsche Gruppe. Zeige:

(a) Es gibt c_{1}, …, c_{s} ∈ A\{0}, so daß A = ⨁_{i=1}^{s} ℤc_{i} ist und außerdem

gilt:

ord(c_{s}) | ord(c_{s−1}) | … | ord(c_{2}) | ord(c_{1})

(4 Punkte)

(b) Sind noch andere Elemente c′_{1}, …, c′_{s′} ∈ A \ {0} gegeben, so daß A = ⨁_{i=1}^{s′} ℤc′_{i} ist und außerdem gilt:

ord(c′_{s′}) | ord(c′_{s′−1}) | … | ord(c′_{2}) | ord(c′_{1})

so ist s = s′ und ord(c_{i}) = ord(c′_{i}) für alle i = 1, …, s. (2 Punkte)

2. Sei p eine Primzahl und G eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung p^{3}. Zeigen Sie, daß das Zentrum von G die Ordnung p hat. (3 Punkte)

3. Sei p eine ungerade Primzahl.

(a) Man zeige, daß der Automorphismus

ℤ_{p^{2}} → ℤ_{p^{2}}, ī ↦ \overline{(p + 1)i}

die Ordnung p hat, und konstruiere so einen Homomorphismus φ_{1} : ℤ_{p} → Aut(ℤ_{p^{2}}). (1 Punkt)

(b) Man zeige, daß der Automorphismus

ℤ_{p} × ℤ_{p} → ℤ_{p} × ℤ_{p}, (ī, j̄) ↦ (ī + j̄, j̄)

von ℤ_{p}^{2} = ℤ_{p} × ℤ_{p} die Ordnung p hat, und konstruiere so einen Homomorphismus φ_{2} : ℤ_{p} → Aut(ℤ_{p}^{2}). (1 Punkt)

(c) Seien G_{1} := ℤ_{p^{2}} ⋊_{φ_{1}} ℤ_{p} und G_{2} := ℤ_{p}^{2} ⋊_{φ_{2}} ℤ_{p} die mit φ_{1} bzw. φ_{2} gebildeten semidirekten Produkte. Man zeige, daß das Zentrum von G_{1} und G_{2} zyklisch von der Ordnung p ist und gebe jeweils ein erzeugendes Element des Zentrums an. (2 Punkte)

(d) Man entscheide, ob die Gleichung g^{p} = 1 für alle Elemente der Gruppe G_{1} bzw. für alle Elemente der Gruppe G_{2} gilt. (2 Punkte)

4. Für eine natürliche Zahl n ≥ 2 zeige man:

(a) Es gibt eine Gruppe G = ⟨a, b⟩, die semidirektes Produkt von ⟨a⟩◁G und ⟨b⟩ < G ist, wobei ord(a) = 2^{n}, ord(b) = 4, ba = a^{−1}b.

(1 Punkt)

(b) D = ⟨a^{2^{n−1}}b^{2}⟩ ist ein Normalteiler der Ordnung 2 von G.(1 Punkt)

(c) Für die Elemente x := aD, y := bD in Q := G/D gilt:

ord(x) = 2^{n} ord(y) = 4 yxy^{−1} = x^{−1} x^{2^{n−1}} = y^{2}

(1 Punkt)

(d) Ist z ∈ Q \ ⟨x⟩, so ist z^{2} = y^{2}. (1 Punkt)

(e) Das Zentrum von Q ist die einzige Untergruppe der Ordnung 2 von Q. (1 Punkt)

Die Gruppe Q heißt die verallgemeinerte Quaternionengruppe der Ordnung 2^{n+1}.

Abgabe: Mittwoch, 8.12.2004, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.

Die Aufgaben sollen von Zweiergruppen bearbeitet werden, die jeweils zusammen abgeben. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung diese beiden Namen und die Tutorgruppe an, für die Sie sich eingetragen haben. Falls Sie sich für verschiedene Gruppen eingetragen haben, geben Sie eine dieser Gruppen an.