Mathematisches Institut WS 2004/2005 der Universität München Blatt 5 W. Zimmermann

Übungen zur Algebra I

1. Sei G eine endliche Gruppe, p der kleinste Primteiler von |G| und H eine Untergruppe vom Index [G : H] = p. Zeige, daß H Normalteiler von G ist. (Hinweis: Betrachte einen geeigneten Homomorphismus von G in die symmetrische Gruppe S_{G/H}.) (4 Punkte)

2. Zeige: Sind m, n ∈ ℕ teilerfremd, so gilt:

n^{φ(m)} + m^{φ(n)} ≡ 1 (mod mn)

(4 Punkte)

3. (a) Zeige: Für alle a ∈ ℤ gilt a^{193} ≡ a (mod 195). (3 Punkte)

(b) Ist p > 2 eine Primzahl und a ∈ ℤ so, daß a und 3p teilerfremd

sind, so gilt

a^{3(p−1)} ≡ 1 (mod 3p)

(3 Punkte)

4. Bestimme die letzten zwei Ziffern der Zahl 9^{9^{9}}. (6 Punkte)

Abgabe: Mittwoch, 1.12.2004, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.

Die Aufgaben sollen von Zweiergruppen bearbeitet werden, die jeweils zusammen abgeben. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung diese beiden Namen und die Tutorgruppe an, für die Sie sich eingetragen haben. Falls Sie sich für verschiedene Gruppen eingetragen haben, geben Sie eine dieser Gruppen an.