Mathematisches Institut WS 2004/2005 der Universität München Blatt 11 W. Zimmermann

Übungen zur Algebra I

1. Zeige:

(a) Sind U und V von Null verschiedene Untergruppen von ℚ, so ist auch U ∩ V ≠ 0. (1 Punkt)

(b) ℚ besitzt keine maximale Untergruppe. (2 Punkte)

(c) Ist U ⊂ ℚ eine Untergruppe, so besitzt auch ℚ/U keine maximale Untergruppe. (1 Punkt)

2. Sei R ein Integritätsring. Zeige:

(a) Für ein von Null verschiedenes Element r ∈ R ist das Ideal (r, X) von R[X] genau dann ein Hauptideal, wenn r eine Einheit von R ist. (3 Punkte)

(b) Ist R kein Körper, so gibt es Ideale in R[X], die keine Hauptideale sind. (1 Punkt)

3. Sei R ein kommutativer Ring und f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} ∈ R[X] ein Polynom. Beweise:

(a) Ist a_{0} eine Einheit von R und sind a_{1}, …, a_{n} ∈ R nilpotent,

(vgl. Aufgabe 3 auf Blatt 10), so ist f eine Einheit in R[X].

(2 Punkte)

(b) Ist f eine Einheit in R[X], so ist a_{0} eine Einheit in R und a_{1}, …, a_{n} sind nilpotent. (4 Punkte)

(Hinweis: Ist g = ∑_{j=0}^{m} b_{j}X^{j} ∈ R[X] invers zu f, so zeige im zweiten Aufgabenteil zuerst durch Induktion a_{n}^{r+1}b_{m−r} = 0 für 0 ≤ r ≤ m. Beweise dann die Behauptung durch Induktion nach n.)

4. Für m ∈ ℤ sei R_{m} = \{a + b\sqrt{m} ∈ ℂ | a, b ∈ ℤ\}. R_{m} ist ein Unterring von ℂ.

(a) Zeige für m = −2, 2, 3, daß R_{m} bezüglich

δ(a + b\sqrt{m}) = |a^{2} − mb^{2}|

euklidisch ist. (2 Punkte)

(b) Zeige, daß die Einheiten von R_{m} genau diejenigen Elemente x von R_{m} sind, die δ(x) = 1 erfüllen. (2 Punkte)

(c) Berechne die Einheiten von R_{m} für m = −1, −2. (2 Punkte)

Abgabe: Mittwoch, 26.1.2005, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.

Die Aufgaben sollen von Zweiergruppen bearbeitet werden, die jeweils zusammen abgeben. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung diese beiden Namen und die Tutorgruppe an, für die Sie sich eingetragen haben. Falls Sie sich für verschiedene Gruppen eingetragen haben, geben Sie eine dieser Gruppen an.