Mathematisches Institut WS 2004/2005 der Universität München Blatt 13 W. Zimmermann

Ferienblatt zur Algebra I

1. Sei R ein Integritätsring und seien r, s, d ∈ R \ {0}.

(a) Wenn in R zu r und s ein kleinstes gemeinsames Vielfaches v existiert, dann existiert auch ein größter gemeinsamer Teiler t, und es gilt rs ∼ vt.

(b) Existiert ein größter gemeinsamer Teiler h von rd und sd, so existiert auch ein größter gemeinsamer Teiler t von r und s, und es ist h ∼ td.

(c) Zu je zwei Elementen in R \ {0} existiere ein größter gemeinsamer Teiler. Sind r und d teilerfremd und auch s und d teilerfremd, dann sind auch rs und d teilerfremd.

(d) Zu je zwei Elementen in R \ {0} existiere ein größter gemeinsamer Teiler, und r und s seien teilerfremd. Gilt r | sd, so gilt auch r | d; gilt r | d und s | d, so gilt auch rs | d.

(e) Genau dann existiert zu je zwei Elementen in R \ {0} ein größter gemeinsamer Teiler, wenn auch zu je zwei Elementen in R \ {0} ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existiert.

2. Gegeben sei der Unterring R_{−3} = ℤ[\sqrt{−3}] = \{a + b\sqrt{−3} | a, b ∈ ℤ\} von ℂ. Zeige:

(a) Die Einheiten von R_{−3} sind 1 und −1.

(b) Die Elemente

2,  1 + \sqrt{−3},  1 − \sqrt{−3}

sind irreduzibel, aber keine Primelemente.

(c) Das Ideal (2) ∩ (1 + \sqrt{−3}) ist kein Hauptideal.

(Hinweis: Verwende die Abbildung R_{−3} → ℕ_{0}, z ↦ zz̄.)

3. Wir betrachten den Unterring R_{−5} = ℤ[\sqrt{−5}] = \{a + b\sqrt{−5} | a, b ∈ ℤ\} von ℂ. Beweise:

(a) 3 und 2 + \sqrt{−5} sind teilerfremd, aber das Ideal (3, 2 + \sqrt{−5}) ist kein Hauptideal.

(b) 3 · 3 und 3 · (2 + \sqrt{−5}) haben keinen größten gemeinsamen Teiler.

(Hinweis: Verwende die Abbildung R_{−5} → ℕ_{0}, z ↦ zz̄.)

4. Sei K ein Körper und R der Unterring von K[X], der aus den Polynomen

f = ∑_{i=0}^{n} α_{i}X^{i}

mit α_{1} = 0 besteht. Zeige:

(a) X^{2} und X^{3} sind teilerfremd, besitzen aber kein kleinstes gemeinsames Vielfaches in R.

(b) X^{2} · X^{3} und X^{3} · X^{3} besitzen keinen größten gemeinsamen Teiler.

5. (a) Berechne in ℤ die Zahl n ∈ ℕ_{0} mit

(533, 2009) = (n)

sowie a, b ∈ ℤ mit n = 533a + 2009b.

(b) Bestimme alle x ∈ ℤ mit 37x ≅ 1 (mod 125).

Die Bearbeitung des Ferienblattes ist freiwillig, es wird weder korrigiert noch bewertet. Wir wünschen angenehme Semesterferien.