Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 9 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

34. Man gebe in dem Polynomring ℤ[X] zwei teilerfremde Polynome f_{1} und f_{2} mit (f_{1}, f_{2}) ≠ ℤ[X] an.

35. (a) Man zerlege die Polynome X^{2} + X + 1 und X^{4} + 1 in ℤ/3ℤ [X] in irreduzible Faktoren.

(b) Man zeige durch Reduktion modulo 2, daß das Polynom

X^{5} + X^{4} + X^{2} + X + 1

über ℚ irreduzibel ist.

(c) Man entscheide, ob das Polynom X^{10} + X^{8} + X^{6} + X^{4} + X^{2} + 1 über ℚ irreduzibel ist.

36. Seien p_{1}, …, p_{n} paarweise verschiedene Primzahlen, wobei n ≥ 2 sei. Man zeige, daß \sqrt[n]{p_{1}, …, p_{n}} irrational ist.

37. Sei R ein Integritätsring.

(a) Man zeige die Umkehrung im Hilbertschen Basissatz: Ist R[X] noethersch, so ist auch R noethersch.

(b) Man zeige die Umkehrung im Satz von Gauß: Ist R[X] faktoriell, so ist auch R faktoriell.

Abgabe: Montag, 7.1.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an. Wir wünschen schöne Weihnachten und ein gutes neues Jahr.