Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 8 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

30. Sei i = \sqrt{−1} ∈ ℂ und R = ℤ[i] = \{a + b i | a, b ∈ ℤ\}.

(a) Man zeige, daß R ein Unterring von ℂ ist.

(b) Betrachte die Abbildung

δ : R → ℕ_{0}, a + b i ↦ a^{2} + b^{2}

Man zeige, daß daß (R, δ) ein euklidischer Ring ist.

(c) Man bestimme die Einheitengruppe R^{∗}.

(d) Man zeige, daß 2 = (1+i)(1−i) die Primfaktorzerlegung von 2 ∈ R ist. (5)

31. Sei R ein Integritätsring mit einem Element x, das irreduzibel, aber nicht Primelement ist. Es gibt also zwei Elemente a, b ∈ R mit der Eigenschaft x | ab, x ∤ a, x ∤ b. Dafür zeige man:

(a) Die Ideale (x) ∩ (a) und (x, a) sind nicht zyklisch.

(b) Das Paar x, a besitzt einen größten gemeinsamen Teiler.

(c) Das Paar xb, ab besitzt keinen größten gemeinsamen Teiler. (5)

32. Seien R ein Integritätsring und x, a, b ∈ R. Man zeige:

(a) Ist x Produkt von Primelementen, so gibt es nur endlich viele zyklische Ideale von R, die x enthalten.

(b) Genau dann besitzt das Paar a, b ein kleinstes gemeinsames Vielfaches, wenn für alle r ∈ R das Paar ra, rb einen größten gemeinsamen Teiler besitzt. (5)

33. (a) Seien n = 632 und m = 547. Man entscheide, ob \overline{m} ∈ ℤ/(n) invertierbar ist; wenn ja, gebe man das Inverse an.

(b) Man bestimme in ℚ[X] einen größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome

f = X^{5} + 2X^{3} + X^{2} + X + 1, g = X^{4} − 1

und schreibe ihn als Linearkombination von f und g. (5)

Abgabe: Montag, 17.12.2001, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.