Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 7 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

26. Sei (G, +) eine abelsche Gruppe. Man zeige, daß die Menge End(G) aller Endomorphismen von G mit der punktweisen Addition und der Hintereinanderausführung von Abbildungen einen Ring bildet. (3)

27. Sei K ein Körper und R = \{( \begin{matrix}α & β \\ 0 & γ \end{matrix} ) | α, β, γ ∈ K\}.

(a) Man zeige, daß R ein Unterring von K^{2,2} ist. (1)

(b) Man zeige, daß

R ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , R ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) und R ( \begin{matrix}1 & λ \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , λ ∈ K,

die paarweise verschiedenen nicht-trivialen zyklischen Linksideale von R sind. (3)

(c) Man bestimme alle Linksideale und alle Ideale von R. (3)

28. Man löse folgende Aufgabe aus dem Buch “Suan Ching” (Klassische Arithmetik) des chinesischen Mathematikers Sun Tsu (Han-Dynastie): “There are certain things whose number is unknown. Repeatedly divide by 3, the remainder is 2, by 5 the remainder is 3, and by 7 the remainder is 2. What will be the number?”

(Geben Sie alle Zahlen mit diesen Eigenschaften an und begründen Sie Ihre Lösung.) (3)

29. Sei R ≠ 0 ein kommutativer Ring.

(a) In der Menge aller Primideale von R betrachte man eine Kette K (bzgl. der Inklusion). Man zeige, daß der Durchschnitt aller Ideale aus K wieder ein Primideal ist. (2)

(b) Sei 𝔞 ein Ideal, das Durchschnitt von Primidealen ist. Man zeige, daß 𝔞 sich schreiben läßt als

𝔞 = ⋂_{i∈I} 𝔭_{i}

für Primideale 𝔭_{i}, die minimal über 𝔞 liegen, die also minimale Elemente der Menge

{𝔭 | 𝔭 ist Primideal und 𝔞 ⊂ 𝔭}

sind. (Dabei heißt ein Element y einer geordneten Menge (M, ≤) minimal, falls es kein y′ ∈ M mit y′ ≤ y und y′ ≠ y gibt.) (5)

Abgabe: Montag, 10.12.2001, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.