Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 6 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

21. Seien p und q zwei Primzahlen mit p < q. Sei G eine Gruppe der Ordnung pq und seien P bzw. Q die p-Sylowgruppe bzw. die q-Sylowgruppe von G. Man zeige:

(a) P und Q sind zyklisch.

(b) Q ist ein Normalteiler von G.

(c) P operiert auf Q durch

P × Q → Q, (g, h) ↦ ghg^{−1}

(d) Führt man auf Q × P die Multiplikation

(g, h)(g′, h′) := (g(hg′h^{−1}), hh′)

ein, so ist die Abbildung

Q × P → G, (g, h) ↦ gh

ein Gruppenisomorphismus.

(In dieser Situation sagt man, die Gruppe G sei das semidirekte Produkt von P und Q.) (4)

22. Man zeige, daß jede nichtabelsche Gruppe der Ordnung 8 isomorph zur Diedergruppe D_{4} oder zur Quaternionengruppe Q_{8} ist. (Hinweis: Zeigen Sie, daß es in jedem Fall einen zyklischen Normalteiler der Ordnung 4 gibt. Unterscheiden Sie die dann die Fälle nach den Ordungen der Elemente, die nicht in dem zyklischen Normalteiler liegen.) (6)

23. Man zeige:

(a) Keine Gruppe der Ordnung 200 ist einfach. (2)

(b) Jede Gruppe der Ordnung 45 ist abelsch. (2)

24. Sei G eine endliche Gruppe und P eine p-Sylowgruppe von G.

(a) Man zeige: Ist H < G eine Untergruppe mit N_{G}(P) ⊂ H, so ist H = N_{G}(H). (3)

(b) Man zeige: Ist H eine echte Untergruppe von P, so ist H auch eine echte Untergruppe des Normalisators N_{G}(H). (Hinweis: Betrachte die Operation von H auf G/H.) (3)

25. Zusatzaufgabe: Sei G eine endliche Gruppe. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

(a) G ist nilpotent.

(b) Jede maximale echte Untergruppe von G ist ein Normalteiler.

(c) Jede echte Untergruppe von G ist auch eine echte Untergruppe ihres Normalisators. (6)

Abgabe: Montag, 3.12.2001, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an. Die bei der Zusatzaufgabe erreichbaren Punkte sind Zusatzpunkte in dem Sinn, daß sie bei der Ermittlung der für den Schein erforderlichen Punkte nicht mitgerechnet werden.