Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 5 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

17. Man zeige:

(a) Für alle n ≥ 3 ist Z(S_{n}) = {e}, für alle n ≥ 4 ist Z(A_{n}) = {e}. (3)

(b) V ist der einzige nichttriviale Normalteiler der A_{4}. (5)

(Hinweis: Man zeige zunächst, daß ein nichttrivialer Normalteiler der A_{4} mindestens die Ordnung 3 besitzt, und betrachte dann den Fall, daß er die Kleinsche Vierergruppe trivial schneidet.)

18. Man zeige:

(a) Für n ≥ 5 ist A_{n} der einzige nichttriviale Normalteiler der S_{n}. (3)

(b) A_{4} und V sind die einzigen nichttrivialen Normalteiler der S_{4}. (3)

19. Sei G eine endliche auflösbare Gruppe. Man zeige:

(a) Es gibt eine absteigende Kette

G = H_{0} ⊃ H_{1} ⊃ H_{2} ⊃ … ⊃ H_{n} = {e}

von Untergruppen mit H_{i+1} ⊲ H_{i} für alle i = 0, …, n − 1, so daß alle Faktoren H_{i}/H_{i+1} Primzahlordnung haben. (2)

(b) Man zeige, daß die obigen Untergruppen H_{i} nicht immer als Normalteiler von G gewählt werden können. (1)

20. Man bestimme alle Sylow-Untergruppen der A_{4} und der S_{4}. (3)

Abgabe: Montag, 26.11.2001, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.