Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 4 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

13. Für eine Gruppe G zeige man:

(a) Die Abbildung f : G → G, x ↦ x^{2} ist genau dann ein Homomorphismus, wenn G abelsch ist. (1)

(b) Gilt x^{2} = e für alle x ∈ G, so ist die Gruppe G abelsch. (1)

(c) Jede nicht-zyklische Gruppe der Ordnung 4 ist abelsch und isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. (2)

14. Für eine Gruppe G zeige man:

(a) Die Konjugation ist genau dann eine transitive Operation auf G, wenn G = {e} ist. (1)

(b) Für jedes x ∈ G ist der Zentralisator C_{G}(x) = {a ∈ G | ax = xa} eine Untergruppe von G. (1)

(c) Falls G endlich ist, dann gibt es x_{1}, …, x_{n} ∈ G\Z(G), so daß gilt:

|G| = |Z(G)| + ∑_{i=1}^{n} [G : C_{G}(x_{i})]

(Klassengleichung) (3)

15. Sei p eine Primzahl. Man zeige:

(a) Ist k ≥ 1 eine natürliche Zahl und G eine Gruppe der Ordnung p^{k}, so gilt p/|Z(G)|. (2)

(b) Jede Gruppe der Ordnung p^{2} ist abelsch. (2)

16. Sei n ≥ 3. Betrachte die Elemente

a = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ 2 & 3 & 4 & … & n & 1 \end{matrix} )
b = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & … & n − 1 & n \\ 1 & n & n − 1 & … & 3 & 2 \end{matrix} )

der symmetrischen Gruppe S_{n}. Dann heißt D_{n} := ⟨a, b⟩ die Diedergruppe vom Grad n. Man zeige:

(a) Es ist D_{n} = {e, a, a^{2}, …, a^{n−1}, b, ba, ba^{2}, …, ba^{n−1}}, und die angegebenen Elemente sind paarweise verschieden. (2)

(b) Betrachte die reellen Matrizen

A = (\begin{matrix}cos(2π/n) & − sin(2π/n) \\ sin(2π/n) & cos(2π/n) \end{matrix}) B = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix})

Man beschreibe anschaulich die Wirkung dieser Matrizen auf ℝ^{2} und zeige, daß die Gruppe ⟨A, B⟩ isomorph zur Diedergruppe ist.

(3)

(c) Man beweise oder widerlege: Die Quaternionengruppe Q_{8} aus Aufgabe 4 ist isomorph zur D_{4}. (2)

Abgabe: Montag, 19.11.2001, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.