Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 3 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

9. (a) Sei G eine Gruppe, x ∈ G von endlicher Ordnung und m ∈ ℕ. Man zeige, daß ord(x^{m}) = ord(x)/ggT(m, ord(x)) ist. (3)

(b) Ist G eine zyklische Gruppe der Ordnung n, so gibt es zu jedem positiven Teiler d von n nach Vorlesung genau eine Untergruppe H von G mit |H| = d. Man zeige, daß H = {x ∈ G| x^{d} = e} ist. (3)

10. (a) Für nicht-triviale Gruppen G_{1}, G_{2} zeige man: Das direkte Produkt G_{1} × G_{2} ist genau dann zyklisch, wenn G_{1} und G_{2} endliche zyklische Gruppen mit teilerfremden Ordnungen sind. (3)

(b) Man zeige: Eine Gruppe G ist abelsch, falls G/Z(G) zyklisch ist. (3)

11. (a) Seien G eine Gruppe mit 55 und M eine Menge mit 39 Elementen. Man zeige, daß jede Operation G × M → M einen Fixpunkt besitzt, d. h. ein m_{0} ∈ M mit B(m_{0}) = {m_{0}}. (3)

(b) Sei G eine Gruppe und M eine nichtleere Menge. Geben Sie eine Bijektion zwischen der Menge O_{G}(M) aller Operationen von G auf M und der Menge Hom(G, S(M)) aller Gruppenhomomorphismen G → S(M) an. (1)

12. Man zeige, daß die S_{n} für n ≥ 3 von den Zyklen (1, 2) und (1, 2, …, n) erzeugt wird. (4)

Abgabe: Montag, 12.11.2001, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.