Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 2 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

5. Sei G eine Gruppe. Man zeige:

(a) Jede Untergruppe von G vom Index 2 ist Normalteiler. (2)

(b) Die Gruppen Inn(G) und G/Z(G) sind isomorph. (2)

6. (a) Man zeige, daß die Quaternionengruppe Q_{8} aus Aufgabe 4 genau vier nichttriviale Untergruppen besitzt, von denen jede zyklisch und normal in Q_{8} ist. (4)

(b) Man bestimme alle Untergruppen der S_{3}. Welche davon sind Normalteiler? (2)

7. (a) Sei K ein Körper und n ≥ 1. Man bestimme das Zentrum der

Gruppe GL(n, K). (2)

(b) Man beweise oder widerlege: GL(2, ℝ) ist ein Normalteiler von GL(2, ℂ). (2)

8. Sei G eine endliche Gruppe und N ≤ G eine Untergruppe.

(a) Für jede Untergruppe H von N zeige man

[G : N][N : H] = [G : H]

(2)

(b) Ist N ⊲ G und sind [G : N] und |N| teilerfremd, so zeige man für jede Untergruppe H von G: Aus |N| = |H| folgt bereits N = H. (Hinweis: Benutzen Sie den 1. Isomorphiesatz.) (4)

Abgabe: Montag, 5.11.2001, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts.