Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 1 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

1. Sei G eine Gruppe. Man zeige:

(a) Die Menge Aut(G) aller Automorphismen von G ist eine Untergruppe von (S(G), ∘). (1)

(b) Die Konjugation

k_{a} : G → G, b ↦ aba^{−1}

ist ein Automorphismus. Ein solcher Automorphismus heißt ein innerer Automorphismus. (1)

(c) Die Menge Inn(G) aller inneren Automorphismen ist ein Normalteiler von Aut(G). (2)

2. (a) Seien G und G′ Gruppen und e das neutrale Element von G. Man zeige, daß ein Gruppenhomomorphismus f : G → G′ genau dann ein Monomorphismus ist, wenn Ker(f) = {e} gilt. (2)

(b) Sei f : G → G′ ein Gruppenepimorphismus und H ⊲ G ein Normalteiler. Man zeige, daß f(H) ⊲ G′ ein Normalteiler ist. (2)

3. Sei H eine Untergruppe von G. Man gebe eine Bijektion zwischen den Linksnebenklassen {aH | a ∈ G} und den Rechtsnebenklassen {Ha | a ∈ G} von G modulo H an. (2)

4. (a) Für die Elemente

a = ( \begin{matrix}−i & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) , b = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) und c = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & −1 \end{matrix} )

der Gruppe GL(2, ℂ) zeige man: ord(a) = 4, ord(b) = 4, ord(c) = 3, ord(bc) = ord(cb) = ∞.

(b) Q_{8} =< a, b > heißt die Quaternionengruppe. Man zeige, daß Q_{8} die Ordnung 8 hat. (4)

(c) Man bestimme das Zentrum von Q_{8}. (2)

Abgabe: Montag, 29.10.2001, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts.