Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 12 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

46. Sei K ⊂ ℂ Zerfällungskörper von f(X) = X^{3} − 3X − 1 über ℚ.

(a) Man zeige, daß für eine Nullstelle α von f auch \frac{−1}{α+1} eine Nullstelle von f ist.

(b) Man zeige: Ist α eine Nullstelle von f in ℂ, so ist K = ℚ(α).

(c) Man bestimme [K : ℚ]. (4)

47. Sei K ein Körper der Charakteristik p > 0, und sei α ∈ K. Man zeige, daß das Polynom X^{p} − α genau dann reduzibel in K[X] ist, wenn α eine p-te Potenz ist, also α = β^{p} für ein β ∈ K ist. (6)

48. Entscheiden Sie, welche der folgenden Körpererweiterungen normal sind:

(a) ℚ ⊂ ℚ(\sqrt[3]{2})

(b) ℚ ⊂ ℚ(\sqrt{2 + \sqrt{2}})

(c) ℚ ⊂ ℚ(ζ_{n}), wobei ζ_{n} = e^{2iπ/n} (6)

49. Man zeige: Ist K ein endlicher Körper, so gibt es in K[X] ein nichtkonstantes Polynom ohne Nullstelle. (4)

Abgabe: Montag, 28.1.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.