Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 11 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

42. Sei K = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}). Man bestimme [K : ℚ] und gebe eine Basis von K über ℚ an. (4)

43. Sei K ⊂ F eine endliche Körpererweiterung. Man zeige:

(a) Wenn [F : K] eine Primzahl ist, dann ist K ⊂ F einfach.

(b) Wenn [F : K] = 2^{n} mit n ∈ ℕ, dann hat jedes Polynom p ∈ K[X] dritten Grades, das eine Nullstelle in F besitzt, bereits eine Nullstelle in K. (6)

44. (a) Seien p und q zwei verschiedene Primzahlen und α = \sqrt{p} + \sqrt{q}. Man zeige, daß α über ℚ(\sqrt{p}) das Minimalpolynom

X^{2} − 2\sqrt{p}X + (p − q)

besitzt.

(b) Sei ℚ̄ die Menge der algebraischen Zahlen, also der algebraische Abschluß von ℚ in ℂ. Man zeige, daß jedes Element aus ℂ \ ℚ̄ transzendent über ℚ̄ ist. (4)

45. Sei K ⊂ F eine Körpererweiterung, und sei α ∈ F transzendent über K. Man zeige:

(a) Für jedes n ∈ ℕ ist α^{n} transzendent über K, und es gilt:

[K(α) : K(α^{n})] = n

(b) Die Körpererweiterung K ⊂ K(α) besitzt unendlich viele Zwischenkörper. (6)

Abgabe: Montag, 21.1.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.