Mathematisches Institut WS 2001/2002 der Universität München Blatt 10 L. Angeleri-Hügel

Algebra I

38. (a) Man zeige, daß in ℚ[X] die Polynome

3X^{7} + 5, \frac{1}{2}X^{4} + 2X^{3} + X^{2} + 3,

X^{3} − 5X^{2} + 1 und X^{2} − 7X + 14

irreduzibel sind.

(b) Mit Hilfe des Kriteriums von Eisenstein zeige man (nach einer geeigneten Substitution X ↦ X + a), daß das Polynom

X^{7} − 7X + 3

über ℚ irreduzibel ist. (Hinweis: Man verwende den binomischen Lehrsatz und frage sich, welche Zahlen die auftretenden Binomialkoeffizienten teilen.) (6)

39. (a) Man zeige, daß die Unterkörper ℚ(i) und ℚ(\sqrt{2}) von ℂ zwar als

ℚ-Vektorräume isomorph sind, nicht aber als Körper.

(b) Sei K ⊂ F eine algebraische Körpererweiterung, und sei R ein Unterring von F mit K ⊂ R ⊂ F. Man zeige, daß R ein Körper ist. (4)

40. Sei L/K eine endliche Körpererweiterung. Man zeige:

(a) Für a ∈ L ist das Minimalpolynom von a über K gleich dem Minimalpolynom des K-Vektorraumhomomorphismus

φ_{a} : L → L, x ↦ ax

(b) Gilt L = K(a), so stimmt das Minimalpolynom von a über K mit dem charakteristischen Polynom von φ_{a} überein. (4)

41. Eine komplexe Zahl z heißt algebraisch, wenn z algebraisch über ℚ ist. z heißt eine ganze algebraische Zahl, wenn z Nullstelle eines Polynoms mit höchstem Koeffizienten 1 aus ℤ[X] ist.

(a) Wenn u algebraisch ist, dann gibt es eine ganze Zahl n ∈ ℤ, so daß nu eine ganze algebraische Zahl ist.

(b) Wenn r ∈ ℚ ganz algebraisch ist, dann ist r ∈ ℤ. (Hinweis: Schreibe r = \frac{m}{n} mit teilerfremden Zahlen m und n, und führe dann die Annahme p/n zum Widerspruch.)

(c) Ist n ∈ ℤ eine ganze Zahl, so sind mit u auch nu und u + n ganz algebraisch. (6)

Abgabe: Montag, 14.1.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.