Mathematisches Institut SS 2003 der Universität München Blatt 7 Prof. Dr. B. Pareigis

Algebra II

25. Sei G eine Gruppe und M eine abelsche Gruppe. ρ : G → Aut(M) sei ein Gruppenhomomorphismus. Wir schreiben abkürzend g.m := ρ(g)(m). Betrachten Sie die Abbildungen

d^{0} : M → Abb(G, M), m ↦ d^{0}(m)

mit d^{0}(m)(g) := g.m − m, und

d^{1} : Abb(G, M) → Abb(G × G, M), f ↦ d^{1}(f)

mit d^{1}(f)(g_{1}, g_{2}) := g_{1}.f(g_{2}) − f(g_{1}g_{2}) + f(g_{1}).

(a) Zeigen Sie, daß d^{1} ∘ d^{0} = 0 ist.

(b) Sei Z^{1}(G, M) := Ke(d^{1}) und B^{1}(G, M) := Bi(d^{0}). Zeigen Sie, daß B^{1}(G, M) ⊂ Z^{1}(G, M) ist.

(Bemerkung: Die zugehörige Faktorgruppe Z^{1}(G, M)/B^{1}(G, M) wird meist mit H^{1}(G, M) bezeichnet.) (4)

26. Sei K ⊂ L eine Galoiserweiterung vom Grad n und G := Aut(L/K). Da ein Automorphismus von Null verschiedene Elemente auf von Null verschiedene Elemente abbildet, erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus ρ : G → Aut(L^{∗}). Zeigen Sie: H^{1}(G, L^{∗}) = 1. (Hinweis: Dabei stammen die Bezeichnungen aus Aufgabe 25. Beachten Sie, daß M dort additiv geschrieben wurde, L^{∗} = L \ {0} aber multiplikativ geschrieben wird.) (6)

27. Bestimmen Sie alle Einheitswurzeln in dem Körper ℚ(\sqrt{−3}). (Aus den Aufgaben des Staatsexamens 1982.) (6)

28. Sei ℚ ⊂ K eine Körpererweiterung vom Grad 2. Zeigen Sie, daß es genau eine quadratfreie ganze Zahl d gibt, so daß K ≅ ℚ(\sqrt{d}) ist. (Hinweis: Eine Zahl heißt quadratfrei, wenn ihre Primfaktoren alle verschieden sind. Vergleichen Sie diese Aufgabe mit Aufgabe 6 auf Blatt 2 der Übungsaufgaben zur Vorlesung ”Algebra I“.) (Aus den Aufgaben des Staatsexamens 1982.) (4)

Abgabe: Dienstag, 3.6.2003, 11.00 Uhr, Übungskästen im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe an.