Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 9 L. Angeleri Hügel

Algebra II

34. Sei K ein Körper und G eine endliche Gruppe. Man zeige:

(a) Ist V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K und ist

φ : G → Aut_{K}(V)

eine Darstellung, so wird V vermöge g.v = φ(g)(v) zu einem endlich erzeugten KG-Linksmodul.

(b) Ist M ein endlich erzeugter KG-Linksmodul, so ist für jedes g ∈ G die Abbildung φ_{g} : M → M, m ↦ gm ein K-Vektorraum-automorphismus, und die Abbildung φ : G → Aut_{K}(M), g ↦ φ_{g} ist eine Darstellung von G in M. (4)

35. Sei R ein Ring und _{R}M ein Linksmodul mit Untermoduln U, V, W.

(a) Man beweise das modulare Gesetz: Wenn V ⊂ W ist, dann gilt

(U + V) ∩ W = (U ∩ W) + (V ∩ W) = (U ∩ W) + V

(b) Man zeige, daß im allgemeinen die Inklusion

(U ∩ W) + (V ∩ W) ⊂ (U + V) ∩ W

echt sein kann. (4)

36. Sei R ein Ring und _{R}M ein Linksmodul. Man zeige:

(a) Ein Untermodul ist genau dann maximal, wenn M/U einfach ist.

(b) _{R}M ist genau dann einfach, wenn M = Rm für jedes 0 ≠ m ∈ M gilt. (6)

37. Sei K ein Körper und V ein (nicht notwendig endlich-dimensionaler) K-Vektorraum. Man zeige:

(a) Die Menge aller freien Teilmengen A von V hat ein maximales Element.

(b) V ist ein freier K-Modul. (6)

Abgabe: Montag, 17.6.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.