Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 8 L. Angeleri Hügel

Algebra II

30. Sei

K_{1} →^{f_{1}} K_{2} →^{f_{2}} K_{3} →^{f_{3}} K_{4} →^{f_{4}} …

eine Folge von Körpern und Körperhomomorphismen. Für i ≤ j definieren wir

f_{ij} := f_{j−1} ∘ f_{j−2} ∘ … ∘ f_{i+1} ∘ f_{i} : K_{i} → K_{j}

(a) Auf der disjunkten Vereinigung V := ⋃_{i=1}^{∞} K_{i} × {i} führen wir eine Äquivalenzrelation dadurch ein, daß wir (x, i) ∼ (y, j) setzen, wenn es ein k mit k ≥ i und k ≥ j gibt, so daß

f_{ik}(x) = f_{jk}(y)

ist. Zeigen Sie, daß auf diese Weise tatsächlich eine Äquivalenzrelation definiert wird.

(b) Auf der Menge K := V/ ∼ führen wir eine Addition und eine Multiplikation ein, indem wir für Äquivalenzklassen [(x, i)] und [(y, j)] ein k mit k ≥ i und k ≥ j wählen und

[(x, i)] + [(y, j)] := [(f_{ik}(x) + f_{jk}(y), k)]
[(x, i)] · [(y, j)] := [(f_{ik}(x) · f_{jk}(y), k)]

Zeigen Sie, daß diese Operationen wohldefiniert sind und daß K auf diese Weise zu einem Körper wird. (K heißt der induktive Limes dieser Folge von Körpern.) (6)

31. Sei p eine Primzahl und L ein Körper der Charakteristik p.

K = K_{1} ⊂ K_{2} ⊂ K_{3} ⊂ K_{4} ⊂ …

sei eine Folge von Unterkörpern von L mit K_{n} ≅ 𝔽_{p^{n!}} und L = ⋃_{n=1}^{∞} K_{n}. Man zeige:

(a) Ist f ∈ K_{n}[x] ein nicht-konstantes Polynom, so gibt es m ∈ ℕ so daß f über K_{m} in Linearfaktoren zerfällt. (Hinweis: Man betrachte den Zerfällungskörper und verwende das Lemma über die Fortsetzung von Körperhomomorphismen in § 1 B).

(b) K ⊂ L ist ein algebraischer Abschluß. (6)

32. Sei K ein Körper der Charakteristik p, K ⊂ L eine Körpererweiterung und α ∈ L \ K. Ist α^{p} ∈ K, so ist [K(α) : K] = p und Gal(K(α)/K) = {id}. (Hinweis: Man vergleiche Aufgabe 47 auf Blatt 12 im letzten Wintersemester.) (4)

33. Sei K der Körper mit 7 Elementen und L der Zerfällungskörper von f = x^{6} + 3 über K. Man berechne [L : K]. (Aus dem Staatsexamen vom Frühjahr 1994). (4)

Abgabe: Montag, 10.6.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.