Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 7 L. Angeleri Hügel

Algebra II

26. Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik Null. Zeigen Sie die Formel von Ferrari für die Lösungen der Gleichung

x^{4} + px^{2} + qx + r = 0

vierten Grades: Sind z_{1}, z_{2}, z_{3} die Lösungen der kubischen Resolvente

z^{3} − 2pz^{2} + (p^{2} − 4r)z + q^{2} = 0

so sind die Lösungen der Gleichung vierten Grades durch die Formeln

x_{1} = \frac{1}{2}(\sqrt{−z_{1}} + \sqrt{−z_{2}} + \sqrt{−z_{3}})  x_{2} = \frac{1}{2}(\sqrt{−z_{1}} − \sqrt{−z_{2}} − \sqrt{−z_{3}})
x_{3} = \frac{1}{2}(−\sqrt{−z_{1}} + \sqrt{−z_{2}} − \sqrt{−z_{3}}) x_{4} = \frac{1}{2}(−\sqrt{−z_{1}} − \sqrt{−z_{2}} + \sqrt{−z_{3}})

wobei die Wurzeln so zu ziehen sind, daß \sqrt{−z_{1}}\sqrt{−z_{2}}\sqrt{−z_{3}} = −q gilt. (Hinweis: Analog zur Cardanischen Formel mache man den Ansatz x = a + b + c und bestimme a, b, c so, daß

a^{2} + b^{2} + c^{2} = −\frac{p}{2} abc = −\frac{q}{8}

gilt. Daraus leite man eine kubische Gleichung für a^{2}, b^{2} und c^{2} ab.) (6)

27. Sei p eine Primzahl, f = x^{4}−px−1 ∈ ℚ[x], und K der Zerfällungskörper von f über ℚ.

(a) Man zeige, daß f und die kubische Resolvente g = x^{3} + 4x + p^{2} irreduzibel über ℚ sind.

(b) Mit Hilfe der Formel von Ferrari zeige man, daß K alle Nullstellen von g enthält.

(c) Man zeige mit Hilfe von Aufgabe 15, daß Gal(K/ℚ) ≅ S_{4}. (6)

28. (a) Man beweise oder widerlege: Eine komplexe Zahl a ist genau dann konstruierbar, wenn [ℚ(a) : ℚ] eine Potenz von 2 ist.

(b) Sei K der Körper der konstruierbaren komplexen Zahlen. Man zeige, daß K als Vereinigung einer aufsteigenden Kette von Galoiserweiterungen von ℚ darstellbar ist, deren Grad jeweils eine Potenz von 2 ist. (4)

29. In wie viele irreduzible Faktoren zerfällt das Kreisteilungspolynom Φ_{31} über ℤ/2ℤ? (Aus dem Staatsexamen vom Herbst 1996) (4)

Abgabe: Montag, 3.6.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.