Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 6 L. Angeleri Hügel

Algebra II

22. Man zeige, wie man mit Zirkel und Lineal Winkel addieren, subtrahieren und halbieren kann und wie man Strecken in beliebig viele Teile teilen kann. (4)

23. Sei a eine Nullstelle von f = x^{4} + x + 1 in ℂ. Man zeige:

(a) [ℚ(a) : ℚ] = 4.

(b) Gal(f/ℚ) enthält ein Element der Ordnung 3. Insbesondere ist a ∈ ℂ nicht konstruierbar. (Hinweis: Mit a = u + iv, (u, v ∈ ℝ) liegen auch u und v im Zerfällungskörper K von f, und 4u^{2} hat über ℚ das Minimalpolynom x^{3} − 4x − 1.) (6)

24. Sei ℕ die Menge der natürlichen Zahlen, die mit 1 beginnt. Die Möbiusfunktion μ : ℕ → ℤ ist folgendermaßen definiert: Ist

n = p_{1} · p_{2} · . . . · p_{k}

die Primfaktorzerlegung von n, so ist

μ(n) = \begin{cases}(−1)^{k} & : p_{1}, p_{2}, …, p_{k} sind alle verschieden \\ 0 & : p_{1}, p_{2}, …, p_{k} sind nicht alle verschieden \end{cases}

Zeigen Sie:

(a) Die Möbiusfunktion ist multiplikativ, d. h. wir haben μ(1) = 1

und

μ(mn) = μ(m)μ(n)

wenn m und n teilerfremd sind.

(b) Ist A eine abelsche Gruppe und sind (a_{n})_{n∈ℕ} und (b_{n})_{n∈ℕ} zwei Folgen von Elementen aus A mit der Eigenschaft, daß

b_{n} = ∑_{\begin{matrix}m=1 \\ m/n \end{matrix}}^{n} a_{m}

ist, so gilt

a_{n} = ∑_{\begin{matrix}m=1 \\ m/n \end{matrix}}^{n} μ(n/m)b_{m}

(4)

25. Sei Φ_{n} das n-te Kreisteilungspolynom über ℚ und μ die Möbiusfunktion. Leiten Sie folgende Formeln her:

(a) Φ_{n}(t) = ∏_{m/n}(t^{m} − 1)^{μ(n/m)}

(b) Sei n = p_{1}^{e_{1}} ·p_{2}^{e_{2}} ·. . .·p_{k}^{e_{k}} die Primfaktorzerlegung von n ∈ ℕ, wobei p_{1}, p_{2}, …, p_{k} verschieden sind. Setze m := p_{1} · p_{2} · . . . · p_{k}. Zeigen Sie, daß

Φ_{n}(t) = Φ_{m}(t^{n/m})

(c) Der konstante Term des Kreisteilungspolynoms ist

Φ_{n}(0) = \begin{cases}−1 & : n = 1 \\ 1 & : n ≠ 1 \end{cases}

(6)

Abgabe: Montag, 27.5.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.