Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 5 L. Angeleri Hügel

Algebra II

18. Man bestimme die Galoisgruppen der folgenden Polynome:

(a) x^{3} + 3x^{2} − 1 ∈ ℚ[x]

(b) x^{4} − x^{2} − 3 ∈ 𝔽_{5}[x] (4)

19. Man entscheide, ob die Gleichungen

(a) x^{5} − 5x^{4} + 10x^{3} − 10x^{2} + 5x − 3 = 0

(b) x^{7} − 8x^{5} − 4x^{4} + 2x^{3} − 4x^{2} − 2 = 0

über ℚ durch Radikale auflösbar sind. (Hinweis: Suchen Sie für die erste Gleichung eine geeignete Substitution. Verwenden Sie für die zweite Gleichung ohne Beweis die Vorzeichenregel von Descartes: Schreibt man die nichtverschwindenden reellen Koeffizienten eines Polynoms nacheinander auf und zählt, wie oft von einem Koeffizienten zum nächsten das Vorzeichen wechselt, so ist die Zahl dieser Vorzeichenwechsel eine obere Schranke für die Anzahl der positiven reellen Nullstellen des Polynoms. Was kann man daraus für die negativen Nullstellen gewinnen?) (6)

20. Sei p ≥ 3 eine Primzahl und ℚ ⊂ K eine Galoiserweiterung vom Grad p. Man zeige: Obwohl Gal(K/ℚ) zyklisch ist, ist ℚ ⊂ K keine Radikalerweiterung. (Hinweis: Bei jeder Radikalerweiterung kann man die Exponenten n_{i} als Primzahlen annehmen.) (4)

21. Man beweise oder widerlege:

(a) Sei char(K) = 0, p ≥ 3 eine Primzahl und K ⊂ L eine Galoiserweiterung. Genau dann ist Gal(L/K) eine p-Gruppe, wenn es eine Erweiterung L ⊂ E gibt und Zwischenkörper

K = L_{0} ⊂ L_{1} ⊂ … ⊂ L_{m} = E

mit L_{i} = L_{i−1}(a_{i}), a_{i}^{p} ∈ L_{i−1} für alle i.

(b) Sei f ∈ K[x] ein irreduzibles, separables Polynom vom Grad n, so daß G = Gal(f/K) abelsch ist. Dann folgt |G| = n. (6)

Abgabe: Mittwoch, 22.5.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.