Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 3 L. Angeleri Hügel

Algebra II

10. (a) Sei K der Zerfällungskörper von f über ℚ. Man bestimme [K : ℚ] in den folgenden Fällen:

f = X^{4} − 1, f = X^{4} + 1, f = X^{4} + 2, f = X^{4} + 4

(b) Man bestimme die Galoisgruppe und alle Zwischenkörper von ℚ ⊂ ℚ_{12}. (4)

11. Sei K ⊂ ℂ der Zerfällungskörper von f = X^{4} − 2 über ℚ. Man zeige:

(a) K = ℚ(i, \sqrt[4]{2}) ; [K : ℚ] = 8.

(b) Gal(K/ ℚ(i)) ≅ ℤ/4ℤ ; Gal(K/ ℚ(\sqrt[4]{2})) ≅ ℤ/2ℤ.

(c) Gal(K/ ℚ) ist isomorph zur Diedergruppe D_{4}. (6)

12. (a) Man zeige für jede natürliche Zahl n ≥ 2: Genau dann ist f = X^{n−1} + X^{n−2} + … + X + 1 ∈ ℤ[X] irreduzibel, wenn n eine Primzahl ist.

(b) Wieviele maximale Ideale besitzt der Ring R = ℚ[X] /(X^{4323}−1)? (4)

13. Sei K ein endlicher Körper mit d Elementen, und char(K) sei kein Teiler von n. Man zeige:

(a) [K_{n} : K] = ord(d̄) in der Gruppe (ℤ/(n))^{∗}.

(b) Genau dann ist Φ_{n} ∈ K[X] irreduzibel, wenn d̄ ein erzeugendes Element der Gruppe (ℤ/(n))^{∗} ist.

(c) Das Polynom f = X^{4}−X^{2}+1 ∈ ℤ[X] ist irreduzibel, aber modulo aller Primzahlen p reduzibel. (Hinweis: Für p ≥ 5 verwende man (b).) (6)

Abgabe: Montag, 6.5.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an. Die Klausur findet am Montag, dem 8. Juli 2002, 16-18 Uhr, im Hörsaal E04 statt.