Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 2 L. Angeleri Hügel

Algebra II

6. Sei K ein endlicher Körper und f ∈ K[x] ein irreduzibles Polynom vom Grad n. Man zeige:

(a) Ist F = K(a) für eine Nullstelle a von f, so ist F bereits der Zerfällungskörper von f über K.

(b) Für jede endliche Erweiterung K ⊂ F gilt: Genau dann hat f eine Nullstelle in F, wenn n ein Teiler von [F : K] ist.

(c) Zu welchem Galoisfeld ist der Zerfällungskörper von x^{3} + x + 1 ∈ 𝔽_{4}[x] isomorph?

7. Seien K = 𝔽_{2} und F = 𝔽_{2^{10}}. Man bestimme die Anzahl der a ∈ F mit F = K(a).

8. Man bestimme alle n ≥ 1 mit

(a) φ(n) = n − 1

(b) φ(n) = φ(2n)

(c) φ(n) teilt n

(d) φ(n) = 6

(e) φ(n) = 14.

9. Für eine Galoiserweiterung K ⊂ F zeige man:

(a) Ist [F : K] = p^{n} für eine Primzahl p und n ≥ 2, so gibt es einen Zwischenkörper K {⊂ \atop ≠}L{⊂ \atop ≠}F, so daß L/K galoissch ist.

(b) Ist [F : K] = 40, so gibt es ebenfalls einen Zwischenkörper K {⊂ \atop ≠}L{⊂ \atop ≠}F, so daß L/K galoissch ist.

Abgabe: Montag, 29.4.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.