Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 1 L. Angeleri Hügel

Algebra II

1. (a) Sei K ein Körper der Charakteristik ≠ 2. Zeigen Sie, daß jede

Körpererweiterung K ⊂ F vom Grad 2 galoissch ist.

(b) Sei K ⊂ F eine Galoiserweiterung und sei p eine Primzahl mit p/[F : K]. Zeigen Sie, daß es einen Zwischenkörper K ⊂ L ⊂ F mit [F : L] = p gibt. (4)

2. (a) Sei K ein Körper, G eine Untergruppe von Aut(K), F = Fix_{K}(G) und a ∈ K. Man zeige: Genau dann ist a algebraisch über F, wenn die Bahn {σ(a) | σ ∈ G} endlich ist.

(b) Sei F ⊂ K eine Galoiserweiterung, F ⊂ L ⊂ K ein Zwischenkörper, G = Gal(K/F) und H = Gal(K/L). Man zeige: L′ = Fix_{K}(N_{G}(H)) ist der kleinste Körper zwischen F und L, so daß L/L′ galoissch ist. (6)

3. Seien a = \sqrt[3]{7}, b = \frac{−1 + \sqrt{−3}}{2} und K = ℚ(a, b). Dann zeige man:

(a) [K : ℚ] = 6

(b) Aut(K) besitzt sechs verschiedene Elemente, darunter eines, das a auf a und b auf b^{2} abbildet, ein anderes, das a auf ba und b auf b abbildet.

(c) Geben Sie sämtliche Unterkörper von K an und kennzeichnen Sie diejenigen, die über ℚ galoissch sind. (6)

4. (a) Sei K der Zerfällungskörper von X^{3}−7 über ℚ. Man bestimme ein primitives Element von K über ℚ und gebe sein Minimalpolynom über ℚ an.

(b) Man zeige für den Körper K = ℚ(\sqrt{2}, \sqrt[3]{5}), daß [K : ℚ] = 6 ist, und bestimme ein primitives Element von K über ℚ. (4)

5. Zusatzaufgabe: Sei K ⊂ F eine einfache und algebraische Körpererweiterung mit dem primitiven Element x. Sei f ∈ K[X] das Minimalpolynom von x, L die Menge der Zwischenkörper K ⊂ L ⊂ F und T die Menge der Teiler von f in dem Polynomring F [X]. Wir definieren eine Abbildung

φ : L → T

indem wir einem Zwischenkörper L das Minimalpolynom von x über L zuordnen, und eine Abbildung

ψ : T → L

indem wir einem Polynom

p(X) = a_{0} + a_{1}X + … + a_{n}X^{n}

den Körper K(a_{0}, a_{1}, …, a_{n}) zuordnen, der von den Koeffizienten des Polynoms erzeugt wird. Zeigen Sie, daß die Komposition ψ ∘ φ die Identität ist, und schließen Sie daraus, daß K ⊂ F nur endlich viele Zwischenkörper besitzt. (Hinweis: Ein irreduzibles Polynom bleibt beim Übergang zu einem kleineren Körper irreduzibel.) (6)

Abgabe: Montag, 22.4.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.