Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 13 L. Angeleri Hügel

Algebra II

50. Sei R ein Ring, M ein R-Modul endlicher Länge und U ein Untermodul von M. Man zeige, daß es eine Kompositionsreihe der Form

0 = M_{0} ⊂ M_{1} … ⊂ M_{k} = U ⊂ M_{k+1} ⊂ … ⊂ M_{n} = M

gibt und daß l(M) = l(U) + l(M/U) gilt. (4)

51. Sei p eine Primzahl,

ℚ_{p} := \{\frac{a}{p^{i}} | a ∈ ℤ, i ∈ ℕ\}

und _{ℤ}M = ℚ_{p}/ℤ. Man zeige:

(a) Für m_{i} = \frac{1}{p^{i}} + ℤ, i ∈ ℕ bilden die Untermoduln M_{i} = ℤm_{i} eine echt aufsteigende Kette

M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ M_{3} ⊂ …

(b) Für i ∈ ℕ und a ∈ ℤ gilt: M_{i} wird genau dann vom Element \frac{a}{p^{i}} +ℤ erzeugt, wenn a und p teilerfremd sind.

(c) Für jeden nichttrivialen Untermodul U von M gibt es ein i ∈ ℕ mit U = M_{i}.

(d) M ist artinsch, aber nicht noethersch. (6)

52. Betrachte den Unterring

R = \{(\begin{matrix}q & r_{1} \\ 0 & r_{2} \end{matrix}) | q ∈ ℚ, r_{1}, r_{2} ∈ ℝ\}

von ℝ^{2×2}. Setze

a := (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) b := (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Man zeige:

(a) R ist rechtsartinsch:

0 ⊂ aR ⊂ aR + bR ⊂ R

ist eine Kompositionsreihe von R_{R}.

(b) R ist nicht linksnoethersch: Sei {x_{i} | i ∈ ℕ} eine Menge reeller Zahlen, die über ℚ linear unabhängig sind, und sei a_{i} := (\begin{matrix}0 & x_{i} \\ 0 & 0 \end{matrix}) Dann ist

Ra_{1} ⊂ Ra_{1} + Ra_{2} ⊂ Ra_{1} + Ra_{2} + Ra_{3} ⊂ …

eine echt aufsteigende Kette von Linksidealen von R. (6)

53. Bestimmen Sie die Länge folgender Moduln:

(a) _{R}R, wobei R der Ring der oberen 3×3-Dreiecksmatrizen aus Aufgabe 43 ist.

(b) ℤ/nℤ als Modul über ℤ. (4) Abgabe: Montag, 15.7.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.