Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 12 L. Angeleri Hügel

Algebra II

46. Man bestimme das Jacobson-Radikal für die folgenden Ringe:

(a) Für den Ring der Dreiecksmatrizen (\begin{matrix}K & K & K \\ 0 & K & K \\ 0 & 0 & K \end{matrix}) aus Aufga-

be 43.

(b) Für ℤ/nℤ mit n ∈ ℕ, n > 1.

(4)

47. Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Man zeige:

(a) Der Untermodul S := ⋂{U ⊂ M | U groß in M} ist halbeinfach.

(b) S = ∑{U ⊂ M | U einfach}

(c) Man gebe einen Ring R mit Soc(R_{R}) ≠ Soc(_{R}R) an. (6)

(Hinweis zu Teil (a): Zu einem gegebenen Untermodul von S konstruiere man einen weiteren Untermodul, der maximal ist mit der Eigenschaft, S trivial zu schneiden. Anschließend zeige man, daß die Summe von S und diesem Untermodul groß ist.)

48. Sei R ein Ring, M und N R-Moduln und f ∈ Hom_{R}(M, N). Man zeige:

(a) f(Rad(M)) ⊂ Rad(N)

(b) f(Rad(M)) = Rad(N), falls f ein Epimorphismus mit kleinem Kern ist.

(c) Es ist Rad(M/Rad(M)) = 0, und jeder Untermodul U ⊂ M mit Rad(M/U) = 0 enthält Rad(M). (4)

49. Sei p eine Primzahl, G eine endliche p-Gruppe und K ein Körper der Charakteristik p. Man zeige:

(a) Sei ∗ : G × U → U eine Operation von G auf einer endlichen Menge U mit p/|U|. Dann teilt p auch die Ordnung von

Inv_{G}(U) = {u ∈ U | g ∗ u = u für alle g ∈ G}

(b) Sei M ein KG-Linksmodul und 0 ≠ m ∈ M. Dann teilt p die Ordnung von Inv_{G}(𝔽_{p}G · m).

(c) Jeder einfache KG-Linksmodul ist isomorph zum KG-Linksmodul K mit der trivialen Operation

g · k = k

für alle k ∈ K, g ∈ G.

(d) Das Jacobson-Radikal von KG ist

J = ∑_{g∈G} K(1 − g) = Ker(φ)

wobei

φ : KG → K, ∑_{g∈G} α_{g}g ↦ ∑_{g∈G} α_{g}

(6)

Abgabe: Montag, 8.7.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.