Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 11 L. Angeleri Hügel

Algebra II

42. Man betrachte den orientierten Graphen (oder Köcher)

Q  •_{1} ⟶^{α} •_{2} ⟶^{β} •_{3}

und dazu die Menge aller Wege in Q

W = {α, β, βα, e_{1}, e_{2}, e_{3}}

wobei e_{i}, i = 1, 2, 3, jeweils den trivialen Weg im Vertex i bezeichnet. Für einen Körper K sei nun KQ der K-Vektorraum mit Basis W. Mit der Multiplikation

v · w := \begin{cases}βα : falls v = β, w = α \\ v : falls der Weg v im Vertex i beginnt und w = e_{i} \\ w : falls der Weg w im Vertex j endet und v = e_{j} \\ 0 : sonst \end{cases}

wird KQ zu einer K-Algebra, der sogenannten Köcheralgebra zu Q. Man zeige:

(a) KQ hat eine Zerlegung in unzerlegbare Linksideale.

(b) KQ ist nicht halbeinfach.

(c) KQ ist ein unzerlegbarer Ring. (6)

43. Sei K ein Körper und

R := {(α_{ij}) ∈ K^{3×3} | α_{21} = α_{31} = α_{32} = 0}

die Menge der oberen 3 × 3-Dreiecksmatrizen über K. Man zeige, daß R isomorph zur Köcheralgebra KQ aus Aufgabe 42 ist. (4)

44. Sei G eine Gruppe der Ordnung 3 und sei ξ ∈ ℂ eine primitive dritte Einheitswurzel.

(a) Zerlege ℚ[ξ]G in Blöcke.

(b) Zerlege ℚG in Blöcke.

(Hinweis: Der erste Teil ist einfacher als der zweite; für den zweiten kann man den ersten benutzen.) (6)

45. Seien R_{i}, i ∈ I, von Null verschiedene Ringe. Man zeige: Der Ring R = ∏_{i∈I} R_{i} (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) ist genau dann halbeinfach, wenn alle R_{i} halbeinfach sind und I endlich ist. (4)

Abgabe: Montag, 8.7.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.