Mathematisches Institut SS 2002 der Universität München Blatt 10 L. Angeleri Hügel

Algebra II

38. Sei R ein Ring und _{R}M ein Modul.

(a) Ist f_{1}, …, f_{n} ein vollständiges System orthogonaler Idempotente von End(M), so ist M = ⨁_{i=1}^{n} Im(f_{i}).

(b) Sind M_{i}, i ∈ I, R-Linksmoduln mit M = ⨁_{i∈I} M_{i}, so ist M genau dann projektiv, wenn alle M_{i} projektiv sind. (4)

39. Man zeige für den ℤ-Modul

M = ℤ^{ℕ} = {(a_{n})_{n∈ℕ} | a_{n} ∈ ℤ für alle n}

(a) M enthält die abzählbare Teilmenge ℤ^{(ℕ)}, ist aber selbst nicht abzählbar.

(b) Ist f ∈ Hom_{ℤ}(M, ℤ) eine Abbildung mit f(ℤ^{(ℕ)}) = 0, so gilt f = 0.

(c) _{ℤ}M ist nicht projektiv.

(d) Die Einbettung ℤ^{(ℕ)} → ℤ^{ℕ} ist kein zerfallender Monomorphismus. (6)

40. Man beweise folgende universelle Eigenschaft: Sei R ein Ring, M_{i}, i ∈ I, R-Linksmoduln mit M = ∏_{i∈I} M_{i}. Für jedes k ∈ I sei

p_{k} : M → M_{k}, (m_{i})_{i∈I} ↦ m_{k}

die kanonische Projektion. Ist _{R}N ein Modul mit Homomorphismen

f_{i} : N → M_{i}, i ∈ I

so gibt es genau einen Homomorphismus f : N → M, so daß das Diagramm

[figure: M; M_{k}; p_{k}; N; f; f_{k}]

für jedes k ∈ I kommutiert. Es gilt Ker(f) = ⋂_{i∈I} Ker(f_{i}). (4)

41. Sei K ein Körper, _{K}V ein Vektorraum mit abzählbar unendlicher K-Basis und R = End_{K}(V) der Endomorphismenring. Man zeige: Zu jedem n ∈ ℕ gibt es eine Zerlegung

R = A_{1} ⊕ A_{2} ⊕ … ⊕ A_{n}

wobei die A_{i} zu _{R}R isomorphe Linksideale sind. (6)

Literatur zur Modultheorie

1. F. W. Anderson/K. R. Fuller: Rings and categories of modules, Grad. Texts Math., Vol. 13, Springer, Berlin, 1974

2. F. Kasch: Moduln und Ringe, Math. Leitfäden, Teubner, Stuttgart, 1977

3. T. Y. Lam: A first course in noncommutative rings, Grad. Texts Math., Vol. 131, Springer, Berlin, 1991

4. T. Y. Lam: Lectures on modules and rings, Grad. Texts Math., Vol. 189, Springer, Berlin, 1998

5. R. Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie, Verlag Reinhard Fischer, München, 1988

Abgabe: Montag, 24.6.2002, 11.00 Uhr, Übungskasten im 1. Stock des Mathematischen Instituts. Bitte geben Sie auf Ihrer Lösung Ihre Übungsgruppe an.