Funktionentheorie II:

Komplexe Dynamische Systeme

Die Vorlesung schließt an die im Sommersemester 1994 gehaltene Vorlesung Funktionentheorie an. Es sollen die mathematischen Grundlagen der Komplexen Dynamik behandelt werden. Komplexe Dynamische Systeme haben in letzter Zeit innerhalb und außerhalb der Mathematik besondere Beachtung gefunden. Die grundlegenden Resultate für das Studium Komplexer Dynamischer Systeme haben aber in der Regel ein ehrwürdiges Alter. Insofern handelt die Vorlesung von modernen Entwicklungen aus klassischer Sicht.

Im einzelnen wird das Verhalten der Folgen (f^{n}(z)) für eine ganze oder rationale Funktion untersucht, wobei z die Punkte der komplexen Ebene durchläuft. Von Interesse ist zum Beispiel im Falle einer rationalen Funktion f die Fatou-Menge, das ist die Menge aller Punkte z, für die die Iterierten f^{n} in einer Umgebung von z eine normale Familie bilden,- sowie die Julia-Menge, das ist das Komplement der Fatou-Menge. Mit Mitteln der Funktionentheorie kann ein großer Teil des Verhaltens von (f^{n}(z)) mit Hilfe der Julia-Menge ausgedrückt werden. Von besonderer Bedeutung ist in diesem Zusammenhang der ’große’ Satz von Montel.

Der Fall eines quadratischen Polynoms f wird nach diesen Vorbereitungen eingehender untersucht. Insbesondere wird die Mandelbrot-Menge studiert.