Martin Schottenloher Nov. 1995

PROGRAMM des Seminars B 1995/96

Komplexe Vektorbündel

Termin: Mo 16 – 18, Hörsaal 133

Vortrag 1: 20.11. 1995 Vortrag 2: 27.11. 1995 Vortrag 3: 4.12. 1995 Vortrag 3/ Vortrag 4: 11.12. 1995 Vortrag 4: 18.12. 1995 Vortrag 5: 8.1. 1996 Vortrag 5.1: 15.1. 1996 Vortrag 5.2: 22.1. 1996 Vortrag 5.2 (2.Teil): 29.1. 1996 Vortrag 5.5: 5.2. 1996 Vortrag 6: 12.2. 1996 Vortrag 8: 19.2. 1996

Das Seminar richtet sich fast ausschließlich nach [We]. Aus diesem Buch sollten vorweg gelernt werden: Die ersten zwei Kapitel mit Schwerpunkten in I.1, II.1 und II.3. Vektorbündel werden zwar im ersten Vortrag noch vorgestellt, aber Garben- und Kohomologietheorie muß selbst gelernt werden. Das Thema eignet sich tatsächlich nicht als elementarer Vortrag.

Vortrag 1: Vektorbündel: Begriff und Beispiel (M. Kreuzpointner)

Inhalt: Verschiedene Definitionen, Trivialität, Beispiele: Tangentialbündel, tautologisches Bündel und Hyperebenenbündel über IP_{n}(C), zu jedem k ∈ ZZ ein Geradenbündel H_{k} über IP_{n}(C) mit Schnittraum ≅ k-homogene Polynome, Algebraische Konstruktionen, Tensorbündel, Graßmannsche, Stiefelmannigfaltigkeit. Alles im wesentlichen nach [We].

Vortrag 2: Hermitesche Vektorbündel und Zusammenhang (A. Wiesbeck)

Inhalt: [We, III.1] mit Blick auf [BGV].

Vortrag 3: Komplexe Mannigfaltigkeiten, ¯∂ und kanonischer Zusammenhang auf holomorphen Hermiteschen Vektorbündeln (J. Aldinger) Inhalt: [We, I.2] und [We, III.2]. Siehe auch [GH].

Vortrag 4: Chern-Klassen von komplexen Vektorbündeln (H. Ludwig) Inhalt: [We, III.3], evtl. noch [We, III.4], wenn Vortrag 5 nicht gehalten wird. Geht’s auch für reelle Vektorbündel?

Vortrag 5: Komplexe Geradenbündel (Y. Sommerhäuser) Inhalt: [We, III.4], und Klassifikation der Geradenbündel auf IP_{1}(C).

Vortrag 5.1: Charakteristische Klassen (M. Schottenloher) Inhalt: Nach Milnor/Stasheff und Husemöller: Chern-Klassen, Stiefel-Whitney-Klassen, Pontryagin.Klassen, Eulerklasse, ...

Vortrag 5.2: Pseudodifferentaloperatoren auf Vektorbündeln (H. H. Phung) Inhalt: [We, IV.3] und Vorbereitungen dazu.

Vortrag 5.5: Elliptische Operatoren auf kompakten Mannigfaltigkeiten (A. Wiesbeck) Inhalt: [We, IV.4] Schwerpunkt 4.8 – 4.12. Man vergleiche mit der Darstellung der Lösungstheorie elliptischer Operatoren in [Wa].

Vortrag 6: Hodge-Zerlegung auf kompakten Kählermannigfaltigkeiten (J. Lang) Inhalt: [We, V.5] mit Umfeld. Vgl. auch [Wa].

Vortrag 7: Darstellungstheorie von \underline{sl}(2, C) und äußere Algebra (N.N.) Inhalt: [We, V.3]. (Evtl. vor dem Vortrag 6)

Vortrag 8: Hodge-Mannigfaltigkeiten und Verschwindungssatz (E. Schiegnitz) Inhalt: [We, VI.1,2]. Evtl. ein Blick in [GH] oder [LM].

Vortrag 9: Kodairas Einbettungssatz (N.N.) Inhalt: [We, VI.4] mit Umfeld. Siehe auch [GH].

Literatur

Ich habe einige weitere schöne Bücher zur Orientierung angegeben: [Wa] ist besonders gut für die Grundzüge einer Theorie der Mannigfaltigkeiten, falls diese noch nicht parat sein sollte und für die elliptischen Operatoren, [Na] ist gut für die elementare Analysis auf reellen und komplexen Mannigfaltigkeiten, [GH] für komplexe Analysis, [OSS] für holomorphe Vektorbündel auf kompakten algebraischen Mannigfaltigkeiten. [BVG] und [LM] schließlich geben viele weitere Informationen über Vektorbündel.

[BVG ] Berline, N. / Getzler, E. / Vergne, M.: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer-Verlag, 1992.

[GH ] Griffiths, P. / Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. Wiley, 1978.

[LM ] Lawson, H. B. / Michelson, M.-L.: Spin Geometry. Princeton, 1989.

[Na ] Narasimhan, R.: Analysis on Real and Complex Manifolds. North-Holland, 1973.

[OSS ] Okonek, Ch. / Schneider, M. / Spindler, H.: Vector Bundles on Complex Projective Spaces. Birkhäuser, 1980.

[Wa ] Warner, F.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Scott Foresman, 1971. Neuauflage beim Springer-Verlag.

[We ] Wells, R.O.: Differentiable Analysis on Complex Manifolds. Springer-Verlag 1980.