Seminar: Äquivalenz von Kurven und Körpern

Sommersemester 2021

      Prof. Dr. Martin Schottenloher

Zeit und Ort:
Di 16-18, Beginn: 13. April
Das Seminar wird per Zoom durchgeführt. Der genaue Beginn der jeweiligen Zoom-Sitzung ist dann um 16:15 Uhr.
Für den Fall von Präsenzveranstaltungen im Sommer 2021 wird der Raum noch bekannt gegeben.

Schedule:

• 13.04.2021 Vorbesprechung
• 27.04.2021 Riemannsche Flächen und algebraische Kurven (R. Landstorfer)
• 04.05.2021 Überlagerungen kompakter Riemannscher Flächen und Funktionenkörper (Hallweger)
• 11.05.2021 Die Äquivalenz für g = 1: Elliptische Kurven (R. Mader)
• 18.05.2021 Diskrete Bewertungsringe und Kurven (C. Koppelstetter)
• 01.06.2021 Abstrakte Kurve eines Funktionenkörpers (C. Koppelstetter)
• 08.06.2021 Kein Vortrag
• 15.06.2021 Modulraum der Kurven I (L. Gambarte)
• 22.06.2021 Kein Vortrag
• 29.06.2021 Kein Vortrag
• 06.07.2021 Modulraum der Kurven II (L. Gambarte)
• 13.07.2021 Beispiele (V. Reimoser)

Inhalt

Im Mittelpunkt des Seminars steht zunächst die Äquivalenz der folgenden drei Objektklassen:

1. Isomorphieklassen von regulären, projektiven Kurven über ℂ, dem Körper der komplexen Zahlen.
2. Isomorphieklassen von kompakten Riemannschen Flächen.
3. Isomorphieklassen von Körpern K, die endliche Erweiterungen des Körpers ℂ mit Transzendenzgrad 1 sind.

Von 1 nach 2 kommt man, indem man feststellt, dass eine reguläre Kurve über ℂ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension 1 ist. Von 2 nach 3 kommt man, indem man zu einer Riemannschen Fläche X ihren Funktionenkörper betrachtet, also den Körper der meromorphen Funktionen auf X. Von 3 nach 1 ist dann eine längere Geschichte.

Zu den genannten Kurven, Körpern und Flächen sollen die grundlegenden Definitionen und Resultate im Seminar bereitgestellt werden, um die Äquivalenz zu beweisen. Außerdem werden Beispiele behandelt. Insbesondere gilt es, das Geschlecht einer kompakten Riemannsche Fläche in den anderen äquivalenten Isomorphieklassen wiederzuerkennen.

Als Weiterführung des Seminars bietet sich an, je nach Interesse, eines der beiden folgenden Themen zu behandeln:

      Modulraum



• den Modulraum der Isomorphieklassen von kompakten Riemannschen Flächen (resp. Kurven, resp. Körpern) zu einem vorgegebenen Geschlecht g > 0 zu studieren, zusammen mit dem zugehörigen Teichmüllerraum.
  

  Rosettastein

  
  
• oder die Äquivalenz, soweit möglich, auf andere Körper zu übertragen. Das führt zur Arithmetischen Algebraischen Geometrie und zur Zahlentheorie, insbesondere zu einer Analogie zwischen algebraischen Zahlen und algebraischen Körpern. Diese Analogie wurde in einem größeren Zusammenhang, zusammen mit einer weiteren Analogie, in dem berühmten Brief von A. Weil (1940) als "Rosettastein" (pierre de Rosette) beschrieben.

Literatur:

Die oben beschriebene Äquivalenz und das Studium des Modulraums der kompakten Riemannschen Flächen vom Geschlecht g finden sich in dem Klassiker von D. Mumford:
      „Curves and Their Jacobians“,
und die nötigen Grundlagen aus der Funktionentheorie sind in Forsters Buch:
      „Riemannsche Flächen“
dargestellt. Der Brief von A. Weil in englischer Übersetzung ist in
      https://www.ams.org/notices/200503/fea-weil.pdf
publiziert und eine Einführung in die Arithmetische Geometrie wird durch das Buch von Lorinzini
      „An Invitation to Arithmetic Geometry“
gegeben.

Für

Das Seminar ist für Bachelor oder Master geeignet. Masterstudenten müssen einen zweiten Vortrag halten, falls das Seminar als Hauptseminar (6 ECTS) gelten soll.

Voraussetzungen

Grundkenntnisse in Funktionentheorie und in Körpertheorie.

Anmeldung

Interessenten bitte bald per Mail anmelden (martin@schottenloher.de) mit Angabe von Interessen und Präferenzen sowie gegebenenfalls Themenvorschlag.