Department Mathematik
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Seminar: Langlands Correspondence VII

Gemeinsam mit R. Gerkmann

SoSe 2013, Do 12 - 14 Uhr, HS B 133

Beginn: 23.04.13


Programm:

  • 25.04.2013: Besprechung der Details zum Semesterprogramm (alle)
  • 02.05.2013: Selbstadjungierte Operatoren und Spektralzerlegung (Martin Schottenloher)
  • 16.05.2013: Die Quotienten der oberen Halbebene als Riemannsche Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Flächen; insbesondere Modulkurven (Ralf Gerkmann)
  • 23.05.2013: Modulkurven (Ralf Gerkmann)
  • 06.06.2013: Einführung in die Spektraltheorie des Laplace-Beltrami-Operators (Martin Schottenloher)
  • 13.06.2013: Spektralproblem auf Γ\SL(2,R) (Kathrin Bild)
  • 20.06.2013: Spektrale Resolvente und Sphärische Funktionen (Martin Schottenloher)
  • 04.07.2013: Plancherel-Formel (Pascal Reisert)
  • 18.07.2013: Selbergsche Spurformel (Ralf Gerkmann)
  • : Selbergsche Zeta-Funktion (Christian Paleani)
  • : Der Fall mit einer (echten) Spitze (Martin Schottenloher)
  • : Anwendungen ( )
Literatur: Wir orientieren uns im Wesentlichen an den von D. Bump gechriebenen Artikel "Spectral Theory and the Trace Formula" in dem Band "An Introduction to the Langlands Program", Birkhäuser (2003),herausgegeben von Bernstein und Gelbart.
Dieser Artikel basiert zu einem Teil auf dem Preprint 'jerusalem-paper' von D. Bump (http://sporadic.stanford.edu/bump/match/trace.pdf), 2001, das ein wenig ausführlicher ist.
Des Weiteren kann man sich auf das Buch von D. Bump beziehen.
Viele Aspekte zu dem Thema sindgründlich in dem Buch "SL(2,R)" von Serge Lang behandelt.

Zielsetzung


Das Langlandsprogramm gehört zu den ehrgeizigsten Projekten in der Mathematik. Es geht um tiefliegende Entsprechungen, durch die viele verschiedene Gebiete der Mathematik miteinander verbunden werden. Es wurden in diesem Programm bereits große und schöne Ergebnisse erzielt und es wurden sehr viele offene Fragen aufgeworfen. Angestoßen wurde das Programm vor etwa 40 Jahren durch Resultate und Vermutungen von Robert Langlands, die eine Korrespondenz zwischen Objekten der Zahlentheorie einerseits und Objekten der Harmonischen Analysis andererseits herstellen (z.B. zwischen Darstellungen der Galoisgruppe eines Zahlkörpers und Darstellungen gewisser Lie-Gruppen). Ausgehend von der seit langem bekannten Beobachtung, dass algebraische Zahlkörper mit den Funktionenkörpern algebraischer Kurven viele Eigenschaften teilen, wurde dann die Langlands-Korrespondenz von der Arithmetik auf die Geometrie verallgemeinert. Schließlich gibt es neuerdings eine weitere spekulative Ausweitung der Korrespondenz auf die Quantenphysik, wie sie etwa in dem Bourbaki-Artikel "Gauge Theory and Langlands Correspondence" von Edward Frenkel (2009) beschrieben wird. In dem Seminar geht es mehr als in anderen Veranstaltungen der Mathematikausbildung darum, verschiedene Disziplinen wie Zahlentheorie, Funktionentheorie, Darstellungstheorie, Operatortheorie, Harmonische Analysis, Algebraische Geometrie etc. zusammenzubringen und darzulegen, wie das Zusammenwirken der Disziplinen zum Erfolg führt. Insofern stellt das Seminar eine besondere Herausforderung an die Teilnehmer dar.

Das Fernziel des Seminars ist es, die Formulierungen der Langlands-Korrespondenz in ihren oben angedeuteten Ausprägungen zu verstehen. In diesem Semester soll dazu die Selbergsche Spurformel studiert werden. Dazu benötigen wir wesentliche Eigenschaften des Laplace-Operators auf der oberen Halbebene und des Laplace-Operators auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Contact

Person Büro Emailadresse
Prof. Dr. Martin Schottenloher 440 schotten "at" math.lmu.de
Ralf Gerkmann 401 Ralf.Gerkmann "at" math.lmu.de
Dr. Christian Paleani 346 cpaleani "at" math.lmu.de