Seminar: Langlands Correspondence VIII

Gemeinsam mit R. Gerkmann

WiSe 2013/14, Do 14 - 16 Uhr, HS B 041

Beginn: 23.04.13

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Programm:

• 17.10.2013: Direkte Zerlegung der rechtsregulären Darstellung von SL(2,R) auf L₂(SL(2,Z)\SL(2,R)) (R. Gerkmann)
• 07.11.2013: Besprechung und Details zum Semesterprogramm
• 21.11.2013: Zerlegung des diskreten Anteils der rechtsregulären Darstellung auf L₂(Γ\SL(2,R)) I (P. Reisert)
• 28.11.2013: Zerlegung des diskreten Anteils der rechtsregulären Darstellung auf L₂(Γ\SL(2,R)) II (P. Reisert)
• 05.11.2013: Endliche Multiplizität im diskreten Anteil (K. Bild)
• 12.11.2013: Duale Gruppe und rechtsreguläre Darstellung abelscher Gruppen (G. Schüller)
• 09.01.2014: Darstellungstheoretische Aspekte der Spektralzerlegung des Laplace-Operators (R. Gerkmann) Eisensteinreihen als Baustein zur Spektralzerlegung des kontinuierlichen Anteils: Vorschau (Schottenloher)
• 30.01.2014: Zerlegung in SO(2,R)-invariante Unterräume der rechtsregulären Darstellung von SL(2,R) (J. Schmidt-Domine)
• 06.02.2014: Eisensteinreihen als Baustein zur Spektralzerlegung des kontinuierlichen Anteils (P. Reisert)

Zielsetzung

Das Langlandsprogramm gehört zu den ehrgeizigsten Projekten in der Mathematik. Es geht um tiefliegende Entsprechungen, durch die viele verschiedene Gebiete der Mathematik miteinander verbunden werden. Es wurden in diesem Programm bereits große und schöne Ergebnisse erzielt und es wurden sehr viele offene Fragen aufgeworfen. Angestoßen wurde das Programm vor etwa 40 Jahren durch Resultate und Vermutungen von Robert Langlands, die eine Korrespondenz zwischen Objekten der Zahlentheorie einerseits und Objekten der Harmonischen Analysis andererseits herstellen (z.B. zwischen Darstellungen der Galoisgruppe eines Zahlkörpers und Darstellungen gewisser Lie-Gruppen). Ausgehend von der seit langem bekannten Beobachtung, dass algebraische Zahlkörper mit den Funktionenkörpern algebraischer Kurven viele Eigenschaften teilen, wurde dann die Langlands-Korrespondenz von der Arithmetik auf die Geometrie verallgemeinert. Schließlich gibt es neuerdings eine weitere spekulative Ausweitung der Korrespondenz auf die Quantenphysik, wie sie etwa in dem Bourbaki-Artikel "Gauge Theory and Langlands Correspondence" von Edward Frenkel (2009) beschrieben wird. In dem Seminar geht es mehr als in anderen Veranstaltungen der Mathematikausbildung darum, verschiedene Disziplinen wie Zahlentheorie, Funktionentheorie, Darstellungstheorie, Operatortheorie, Harmonische Analysis, Algebraische Geometrie etc. zusammenzubringen und darzulegen, wie das Zusammenwirken der Disziplinen zum Erfolg führt. Insofern stellt das Seminar eine besondere Herausforderung an die Teilnehmer dar.

Das Fernziel des Seminars ist es, die Formulierungen der Langlands-Korrespondenz in ihren oben angedeuteten Ausprägungen zu verstehen. In diesem Semester soll dazu die Selbergsche Spurformel studiert werden. Dazu benötigen wir wesentliche Eigenschaften des Laplace-Operators auf der oberen Halbebene und des Laplace-Operators auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten.

Contact

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Prof. Dr. Martin Schottenloher	440	schotten	"at"	math.lmu.de
Ralf Gerkmann	401	Ralf.Gerkmann	"at"	math.lmu.de
Dr. Christian Paleani	346	cpaleani	"at"	math.lmu.de