Kapitel VII. Eigenwerte
Einführung
Für
lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen über einem
Körper K erhält man durch geeignete Wahl der Basen immer eine besonders
einfache Form der Darstellung dieser linearen Abbildung durch eine Matrix. Das
haben wir im letzten Semester im 4. Kapitel der Vorlesung gesehen. Wir
wiederholen:
Seien V
und W endlichdimensionale Vektorräume; sei
b = (b1, b2, ... , bn) Basis von V
und sei
c = (c1, c2, ... , cm) Basis von W .
Nach 19.2
gibt es zu jedem f aus Hom(V,W) eindeutig bestimmte Koeffizienten
mit
Wir nennen
die Matrix
die zu f
gehörige Matrix (bezüglich der Basen b und c), und wir sagen, die Matrix A stellt
die lineare Abbildung f (bezüglich der Basen b und c) dar. Denn für
einen beliebigen Vektor
gilt
und daher
also
als
Matrixmultiplikation.
Zu einer
vorgegebenen linearen Abbildung kann man nach 20.11 und 22.5 stets Basen b' und
c' finden, so dass f die Darstellung
hat. Dabei
ist Er die
(rxr)-Einheitsmatrix (und r ist der Rang von f, also die Dimension des Bildes
f(V) in W).
Man
gewinnt die Basen b' und c' und die neue Darstellung von f also durch
Basiswechsel (vgl. § 23) in V und W aus den gegebenen Basen b und c. Diese
Basiswechsel werden gegeben durch invertierbare (nxn)-Matrizen S
bzw. (mxm)-Matrizen T , und es gilt
Dabei ist
Wir
konzentrieren uns jetzt auf den Fall von Endomorphismen, also auf den Fall von
V = W . Es ist offensichtlich, dass es interessant ist, besonders einfache
Matrixdarstellungen von einem vorgegebenen Endomorphismus f durch eine einzige
Basiswahl, also in der oben gewählten Bezeichnung durch b = c und b' = c' zu
erreichen. Zur Debatte stehen die Matrixdarstellungen A = Af der
Form:
1. A wie oben;
2. A hat Diagonalgestalt;
3. A ist eine obere Dreiecksmatrix.
1. wird ist nur selten zu
erreichen. Kriterien zu 2. werden in den Paragrafen 38 und 39 behandelt nach
einer Darstellung zum Begriff Eigenwert (§ 37) und zum charakteristischen
Polynom (§ 38). Die Form 3. wird in § 40 behandelt.
Definition: Zwei (nxn)-Matrizen A und B heißen
ähnlich, wenn es eine invertierbare (nxn)-Matrix S gibt mit
Bemerkungen:
1. "Ähnlichkeit" ist eine
Äquivalenzrelation auf dem Vektorraum der (nxn)-Matrizen.
2. Die Frage nach der Möglichkeit, einen vorgegebenen
Endomorphismus f auf einem n-dimensionalen K-Vektorraum V
als eine Diagonalmatirx (bzw. eine obere Dreiecksmatrix) darzustellen,
läuft auf die Frage hinaus, ob bei zunächst beliebiger Basiswahl b die
darstellende Matrix Af ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix (bzw.
einer oberen Dreiecksmatrix).
Inhalt im einzelnen:
§ 37 Eigenwerte
§ 38 Das charakteristische Polynom
§ 39 Diagonalisierung
§ 40 Trigonalisierung
[Letzte
Änderung: 27.5.2002]