Schottenloher: Algebraische Geometrie (mit Übungen)


Inhalt:

Eine Einführung in die Algebraische Geometrie kann auf sehr verschiedene Weise durchgeführt werden, wie bereits die vorhandenen Lehrbuchliteratur zeigt. In einer solchen Einführung sollte die klassischen Theorie zumindestens angesprochen werden, es sollte der Formalismus nicht allzu sehr im Vordergrund stehen, und doch sollte auf moderne Entwicklungen eingegangen werden. Bei dem Versuch, diese Aspekte unter einen Hut zu bringen, erscheint mir zur Zeit der folgende Aufbau der Vorlesung sinnvoll zu sein:

Die Vorlesung beginnt mit der Projektiven Geometrie im Sinne der Theorie der projektiven Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Häufig wird der Fall k = C in den Vordergrund geschoben, um insbesondere auch das Zusammenspiel der starken Topologie mit der Zariski-Topologie zu studieren. Ein erster Höhepunkt der Vorlesung sollte die Behandlung der verschiedenen Facetten des Begriffs der glatten projektiven Kurve über C sein: Die Theorie der glatten projektiven Kurven stimmt überein mit der Theorie der kompakten Riemannschen Flächen und mit der Theorie der endlichen, algebraischen Körpererweiterungen des Körpers der rationalen Funktionen (in einer Variablen). Besonderes Augenmerk wird jeweils der lokalen Theorie gelten, die im Falle von k = C streckenweise mit konvergenten Potenzreihen und in jedem Falle mit Garben beschrieben werden kann. Dies liefert die Möglichkeit, zum Schluß der Vorlesung auf allgemeine Varietäten und Schemata einzugehen.


Bemerkung: Von der nachstehenden Literatur wird hauptsächlich von dem erstgenannten Buch Gebrauch gemacht. Von den anderen wird jeweils nur ein Anfangsteil benötigt.

Literatur:

Mumford, D.: Algebraic Geometry I. Complex Projective Varieties, Springer (1976).
Shafarevich, I.: Basic Algebraic Geometry, Springer (1975).
Hartshorne, R.: Introduction to Algebraic Geometry, Springer (1978).
Harris, J.: Algebraic Geometry, Springer (1991).
Mumford, D.: Algebraic Geometry, (the red book), Nachdruck im Springer-Verlag.