MATHEMATISCHES INSTITUT  München, am 15. Juli 1997

DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN

Prof. Dr. M. Schottenloher  Zi. 437, Tel. 2394-4432
Dr. P. Schuster  Zi. 402, Tel. 2394-4401

Mathematisches Seminar im Wintersemester 1997/98

Fundamentalsatz der Algebra und Auswahlaxiom

Der erstmals von C. F. Gauß systematisch behandelte Fundamentalsatz der Algebra

”Jedes nichtkonstante komplexe Polynom hat eine komplexe Nullstelle“

ist nicht nur Motivation und Rechtfertigung für die Einführung der komplexen Zahlen, sondern auch Herausforderung und Prüfstein für jede mathematische Theorie. Nach einem kurzen historischen Überblick werden in diesem Seminar klassische und moderne Wege zum Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra vorgestellt, wobei besonderes Augenmerk der Stärke der verwendeten Hilfsmittel und der Qualität der erzielten Resultate gelten soll; unter anderem werden die von L. E. J. Brouwer, H. Weyl und E. Bishop im Rahmen der intuitionistischen bzw. konstruktiven Mathematik gegebenen Beweise behandelt. Auf eine kritische Betrachtung des Auswahlaxioms und seiner unmittelbaren Abschwächungen folgend wird die von F. Richman stammende auswahlfreie Konstruktion des Spektrums eines Polynoms behandelt; um in dieser ungeordneten Gesamtheit aller Nullstellen eine einzelne isolieren zu können, benötigt man lediglich eine sehr schwache Form des Auswahlaxioms. Abschließend wird die Bedeutung des Auswahlaxioms und äquivalenter Postulate für die Mathematik im allgemeinen beleuchtet werden; hier sind vor allem das sogenannte Lemma von Zorn, der Wohlordnungssatz und das Prinzip von F. Hartogs zu nennen.

Voraussetzungen: Grundkenntnisse in Algebra und Funktionentheorie Für: Studenten mit Interesse an Grundlagenfragen der Mathematik Schein: ja, für reine Mathematik

Zeit: Mittwoch, 14 Uhr c. t. Ort: wird noch bekanntgegeben Beginn: 5. November 1997

Vorbesprechung: Montag, 28. Juli 1997, 13 Uhr c. t., E46 Anmeldung: auch im Sekretariat bei Frau Sauerwein (Zi. 435, Tel. 2394-4610)

Literatur (Auswahl):

Bridges, D. S.; Richman, F.: Varieties of Constructive Mathematics. Cambridge UP 1987 Bridges, D.; Richman, F., Schuster, P.: Linear independence and choice. Preprint 1997

(http://www.math.fau.edu/Richman/html/docs.htm)

v. d. Corput, J. G.: On the fundamental theorem of algebra. Indag. Math. 8 (1946), 430–440 Ebbinghaus et al.: Zahlen. Springer-Verlag Moore, G. H.: Zermelo’s axiom of choice, its origins, development and influence. Springer 1982 Richman, F.: The fundamental theorem of algebra: a constructive development without choice.

Preprint, Florida Atlantic University 1996 (http://www.math.fau.edu/Richman/html/docs.htm)